Да се изрази обемът на пирамидата като функция на алфа

[Гост]

1.Пирамидата АBCDM има равни околни ръбове, а основата й ABCD е трапец с голяма основа АВ = а. Бедрото ВС е перпендикулярно на диагонала АС и <АВС =α,. Лицето на основата е два пъти по-малко от лицето на околната стена АВМ.
а) Да се изрази обемът на пирамидата като функция на алфа.
б) Да се намери стойността на алфа, за която обемът на пирамидата е най-голям и да се изчисли този обем.

[S.B.]

1.Пирамидата АBCDM има равни околни ръбове, а основата й ABCD е трапец с голяма основа АВ = а. Бедрото ВС е перпендикулярно на диагонала АС и <АВС =α,. Лицето на основата е два пъти по-малко от лицето на околната стена АВМ.
а) Да се изрази обемът на пирамидата като функция на алфа.
б) Да се намери стойността на алфа, за която обемът на пирамидата е най-голям и да се изчисли този обем.

Без заглавие - 2025-01-13T170832.938.png (376.35 KiB) Прегледано 228 пъти

а)
Околните ръбове на пирамидата са равни,следователно върхът $M$ се проектира върху центъра на описаната около основата окръжност.
Основата $ABCD$ е вписан трапец , следователно е равнобедрен и $AD = BC$
[tex]AC \bot BC \Rightarrow AB = a[/tex] е диаметър на окръжността.$MO$ е височината на пирамидата, [tex]MO \bot (ABCD) \Rightarrow MO \bot AB[/tex]
Разглеждам основата на пирамидата - трапеца $ABCD$:
[tex]\triangle ABC[/tex] е правоъгълен [tex]\rightarrow \frac{BC}{AB} = \cos \alpha \Leftrightarrow BC = a\cos \alpha[/tex]
[tex]CH \bot AB, CH = h, HB = \frac{a - b}{2}[/tex]
От [tex]\triangle BCH \rightarrow[/tex]
[tex]\frac{CH}{CB} = \sin \alpha \Leftrightarrow CH = CB.\sin \alpha \Rightarrow h = a.\sin \alpha.\cos \alpha[/tex]

[tex]\frac{HB}{BC} = \cos \alpha \Leftrightarrow \frac{a - b}{2} = BC.\cos \alpha \Leftrightarrow a - b = 2.BC.\cos \alpha \Leftrightarrow a - b = 2a \cos^{2 } \alpha \Rightarrow b = a(1- 2 \cos^{2 } \alpha )[/tex]

[tex]S_{ABCD } = \frac{a+b}{2}h = \frac{a + a(1 - 2 \cos^{2 } \alpha) }{2}a.\sin \alpha .\cos \alpha=...[/tex]
$$\Rightarrow S_{ABCD } = \frac{ a^{2 } }{2} \sin^{2 } \alpha\sin 2 \alpha $$

[tex]S_{ABM } = \frac{AB.MO}{2} \Leftrightarrow S_{ABM } = \frac{a.MO}{2}[/tex]

[tex]S_{ABM } = 2 S_{ABCD } \Rightarrow \frac{a.MO}{2} = 2. \frac{ a^{2 } }{2} \sin^{2 } \alpha.\sin 2 \alpha[/tex]

$$\Rightarrow MO = 2a. \sin^{2 } \alpha.\sin 2 \alpha $$

[tex]V_{ABCDM } = \frac{1}{3}.MO. S_{ABCD } = \frac{1}{3}.2a \sin^{2 } \alpha.\sin 2 \alpha. \frac{ a^{2 } }{2}. sin^{2 } \alpha .\sin 2 \alpha[/tex]
$$\Rightarrow V_{ABCDM }= V( \alpha) = \frac{ a^{3 } }{3}. \sin^{3 } \alpha. \sin^{2 }2 \alpha $$

Скрит текст: покажи

Подусловие б) ще публикувам по- късно, тъй като имам проблем с интернета и се опасявм, че мога да загубя всичко което съм писала до този момент.Може би имам някъде неточност,но не рискувам да проверявам сега,защото може да загубя всичко,съжалявам!

[S.B.]

б) Да се намери стойността на алфа, за която обемът на пирамидата е най-голям и да се изчисли този обем.

[tex]V_{ABCDM } = \frac{1}{3}.MO. S_{ABCD } = \frac{1}{3}.2a \sin^{2 } \alpha.\sin 2 \alpha. \frac{ a^{2 } }{2}. sin^{2 } \alpha .\sin 2 \alpha[/tex]
$$\Rightarrow V_{ABCDM }= V( \alpha) = \frac{ a^{3 } }{3}. \sin^{3 } \alpha. \sin^{2 }2 \alpha $$

Както и предположих допуснала съм техническа грешка и обемът е:
$$V_{ABCD } =V( \alpha ) = \frac{ a^{3 } }{3} \sin^{4 } \alpha \sin^{2 } 2 \alpha $$

[tex]V( \alpha) = \frac{ a^{3 } }{3} . \sin^{4 } \alpha. \sin^{2 } 2 \alpha = \frac{ a^{3 } }{3} \sin^{4 } \alpha.4 \sin^{2 } \alpha. \cos^{2 } \alpha = \frac{4 a^{3 } }{3}. \sin^{6 } \alpha. \cos^{2 } \alpha[/tex]
$$ \Rightarrow V( \alpha) = \frac{4 a^{3 } }{3} \sin^{6 } \alpha \cos^{2 } \alpha ; \alpha \in (0; 90^\circ) $$

За да намеря стойностите на [tex]\alpha[/tex] за които функцията има екстремум,ще трябва да намеря първата призводна на [tex]V( \alpha)[/tex] и да я приравня на $0$:

[tex]V'( \alpha ) = 8 a^{3 } \sin^{5 } \alpha. \cos^{3 } \alpha - \frac{8 a^{3 } }{3} \sin^{7 } \alpha.\cos \alpha = 0[/tex]
[tex]8 a^{3 }. \sin^{5 } \alpha .\cos \alpha ( \cos^{2 } \alpha - \frac{1}{3}. \sin^{2 } \alpha ) = 0[/tex]
[tex]a \ne 0, \alpha \ne 0 ^\circ, \alpha \ne 90 ^\circ \Rightarrow 8 a^{3 } \sin^{5 } \alpha \cos \alpha \ne 0[/tex]
[tex]\Rightarrow \cos^{2 } \alpha - \frac{1}{3} \sin^{2 } \alpha= 0 \Leftrightarrow 3 \cos^{2 } \alpha - \sin^{2 } \alpha = 0 \Leftrightarrow 4 \cos^{2 } \alpha - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos^{2 } \alpha - \frac{1}{4 }= 0[/tex]
[tex]\cos^{2 } \alpha - \frac{1}{4} = 0 \Leftrightarrow (\cos \alpha + \frac{1}{2})(\cos \alpha- \frac{1}{2}) = 0[/tex]
1)
[tex]\cos \alpha + \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow \cos \alpha= - \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 120 ^\circ > 90 ^\circ , 120 ^\circ \notin (0;90 ^\circ)[/tex]
2)
[tex]\cos \alpha - \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow \cos \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 60 ^\circ \in (0;90 ^\circ)[/tex]
За [tex]\alpha = 60 ^\circ[/tex] функцията [tex]V( \alpha)[/tex] има екстремум.
За да се провери дали той е максимум ще трябва да намерите [tex]V''( \alpha )[/tex] и ако [tex]V''(60 ^\circ) < 0[/tex] то за [tex]\alpha = 60 ^\circ[/tex] пирамидата ще достигне своят максимален обем, [tex]V(60 ^\circ)[/tex]
Удоволствието да довършите задачата оставям изцяло за Вас.Успех!

[Гост]

Благодаря Ви!