Описана сфера

[Гост]

Здравейте, може ли да помогнете и с тези две задачи

1. Дадена е правилна триъгълна пирамида с основен ръб 9 и ъгъл между околен ръб и основата, равен на 30 градуса. Намерете радиуса на описаната около пирамидата сфера.

2. Намерете околния ръб на правилна шестоъгълна пирамида с основен ръб 24 и радиус на описаната сфера 25.

[S.B.]

Здравейте, може ли да помогнете и с тези две задачи

1. Дадена е правилна триъгълна пирамида с основен ръб 9 и ъгъл между околен ръб и основата, равен на 30 градуса. Намерете радиуса на описаната около пирамидата сфера.

Без заглавие - 2025-01-15T170322.136.png (475.68 KiB) Прегледано 82 пъти

Центърът на описаната сфера принадлежи на пресечниците на симетралните равнини на пирамидата.
Пирамидата е правилна и върхът и се проектира върху центъра на описаната около основата окръжност т.$H$ ,който в случая съвпада с медицентъра на основата.През т.$H$ минава и диаметърът на описаната около пирамидата сфера.
Разглеждам основата на пирамидата $MABC$:
$AB = BC = CA = 9$,
[tex]C C_{1 } \bot AB \Rightarrow C C_{1 } = \frac{9 \sqrt{3} }{2}[/tex]
[tex]MH \bot (ABC) , H \in C C_{1 } , CH: H C_{1 } = 2:1 \Rightarrow CH = 3 \sqrt{3}, H C_{1 } = \frac{3 \sqrt{3} }{2}[/tex] ($H$ е медицентър)
От [tex]\triangle HCM \rightarrow \frac{MH}{CH} = \tg 30 ^\circ \Leftrightarrow MH = CH.\tg 30 ^\circ \Rightarrow MH = 3 \sqrt{3} .\frac{ \sqrt{3} }{3} \Rightarrow MH = 3[/tex]

[tex]CC_{1 }[/tex] е симетрала на основния ръб $AB$
Построявам през околния ръб $MC$ и [tex]C C_{1 }[/tex] равнина,която пресича сферата в кръг,който е осно сечение на сферата, а вписаната в нея пирамида - в [tex]\triangle C C_{1 }M[/tex], който принадлежи на полученото осно сечение без да е вписан в окръжността, тъй ката само върховете $M$ и $C$ лежат на окръжността.
[tex]MH \bot (ABC) \Rightarrow MH \bot C C_{1 }[/tex]
Продължавам $MH$ до пресичането ѝ с окръжността в т.[tex]M_{1 }.[/tex]

[tex]MM_{1 }[/tex] е диаметър на окръжността [tex]\Rightarrow M M_{1 } = 2R[/tex]
[tex]\angle MC M_{1 } = 90 ^\circ \Rightarrow \triangle MC M_{1 }[/tex] е правоъгълен с хипотенуза [tex]MM_{1 }[/tex] и височина към хипотенузата $CH$
[tex]MH = 3 , M_{1 }H = 2R - MH \Rightarrow M_{1 }H = 2R - 3[/tex]
Според метричните свойства в правоъгълния триъгълник имаме:
[tex]CH^{2 } = MH. M_{1 }H \Leftrightarrow (3 \sqrt{3}) ^{2 } = 3.(2R - 3) \Leftrightarrow 27 = 6R - 9 \Leftrightarrow 6R = 36[/tex]
$$\Rightarrow R = 6$$