Пирамида-естремална задача

[Гост]

Може ли някой да ми помогне с 4-та.

[ammornil]

Screenshot 2025-01-16 084656.png (34.02 KiB) Прегледано 154 пъти

$\\[24pt] \triangle{ABC},\quad \angle{ACB}= 90^{\circ}, \quad \angle{CAB}= \alpha \\[6pt] M\notin{}p(ABC),\quad{} AM= BM= CM= l \\[6pt] k(O; R), (A, B, C)\in{}k, \quad \because{} \angle{ACB}= 90^{\circ} \Rightarrow O\in{}AB, \quad AO= BO= CO= R= \dfrac{AB}{2} \\[6pt] \angle{MAO}= \angle{MBO}= \angle{MCO}= 30^{\circ}, \quad{} MO\bot{}p(ABC) \Rightarrow \begin{cases} MO\bot{}AB \\ MO\bot{}OC \end{cases} \\[24pt] \triangle{AOM}:\quad \begin{cases} \angle{AOM}= 90^{\circ} \\ \angle{MAO}=30^{\circ} \end{cases} \Rightarrow{} \begin{cases}MO= \dfrac{1}{2}\cdot{}AM= \dfrac{l}{2} \\[6pt] AO= \dfrac{\sqrt{3}l}{2} \end{cases} \\[6pt] AB= 2\cdot{}AO= \sqrt{3}l \\[6pt] AC= AB\cdot{}\cos{\alpha}= \sqrt{3}l\cos{\alpha} \\[6pt] BC= AB\cdot{}\sin{\alpha}= \sqrt{3}l\sin{\alpha} \\[6pt] S_{ABC}= \dfrac{1}{2}\cdot{}AC\cdot{}BC= \dfrac{3}{2}l^{2}\sin{\alpha}\cos{\alpha}= \dfrac{3}{2}l^{2}\cdot{}\dfrac{2}{2}\cdot{}\sin{\alpha}\cos{\alpha}= \dfrac{3}{4}l^{2}\sin{2\alpha}\\[12pt] V_{ABCM}= \dfrac{1}{3}\cdot{}S_{ABC}\cdot{}MO= \dfrac{1}{3}\cdot{}\dfrac{3}{4}l^{2}\sin{2\alpha}\cdot{}\dfrac{l}{2}= \dfrac{l^{3}}{8}\sin{2\alpha} \\[12pt] V(\alpha)= \dfrac{l^{3}}{8}\sin{2\alpha},\quad 0^{\circ}<\alpha<90^{\circ} \Leftrightarrow 0^{\circ}<2\alpha<180^{\circ} \quad l=const.\\[6pt] V'(\alpha)= \dfrac{l^{3}}{8}\cdot{}2\cdot{}\cos{2\alpha}= \dfrac{l^{3}}{4}\cos{2\alpha}=0 \Rightarrow \cos{2\alpha}=0 \Leftrightarrow 2\alpha=90^{\circ} \Rightarrow \alpha=45^{\circ} \\[6pt] V''(\alpha)= \dfrac{l^{3}}{4}\cdot{}2\cdot{}\begin{pmatrix} -\sin{2\alpha}\end{pmatrix}= -\dfrac{l^{3}}{2}\sin{2\alpha}\\[6pt] \quad \because{} \sin{2\alpha}>0 \hspace{0.5em} \forall{}\alpha \in \text{Д}\alpha \Rightarrow V''(\alpha)<0 \hspace{0.5em} \forall{}\alpha \in \text{Д}\alpha \Rightarrow V(45^{\circ})= V_{max} \\[12pt] V_{max}(\alpha)= V(45^{\circ})= \dfrac{l^{3}}{8}\sin{(2\cdot{}45^{\circ})}=\dfrac{l^{3}}{8} $

[Гост]

Може ли някой да ми помогне с 4-та.

Разгледах задачите и аз се чудя как се решава задача 3?

[S.B.]

Може ли някой да ми помогне с 4-та.

Разгледах задачите и аз се чудя как се решава задача 3?

Без заглавие - 2025-01-18T193219.100.png (279.73 KiB) Прегледано 88 пъти

За [tex]\triangle ABC[/tex] прилагам Косинусова теорема за най голямата страна и намирам [tex]\cos \angle BAC = - \frac{3}{5}[/tex]
[tex]\Rightarrow \triangle ABC[/tex] е тъпоъгълен и [tex]\angle BAC > 90 ^\circ[/tex]
[tex]S_{ABC } = 42[/tex] (Използвам Херонова формула)
[tex]CH \bot AB , CH = h[/tex]
[tex]\begin{cases} S_{ABC } = 42 \\ S_{ABC } = \displaystyle\frac{7.h}{2} \end{cases} \Rightarrow h = 12[/tex]
Построявам права [tex]l \begin{cases} l||AB \\ O \in l\\OH = 8 \end{cases}[/tex]
При завъртане на [tex]\triangle ABC[/tex] около построената права $l$ се получават ротационно тяло,състоящо се от 2 пресечени конуса с обща голяма основа + един цилиндър.
Повърхнината на полученото тяло е:
[tex]S_{околна }[/tex]на [tex]C C_{1 }A A_{1 } + S_{околна }[/tex] на [tex]C C_{1 } B_{1 }B + S_{околна}[/tex] на цилиндъра [tex]A A_{1 } B_{1 }B[/tex]

За повърхнината на пресечените конуси се използва формулата:
$$S = \pi (R+r)l$$

За пресечения конус [tex]C C_{1 }A A_{1 }[/tex]:
[tex]R = CO = 12 + 8 = 20 ; r = 8 ; l = AC = 15[/tex]

За пресечения конус [tex]C C_{1 }B B_{1 }[/tex]:
[tex]R = 20 , r = 8 , l = 20[/tex]

За цилиндъра [tex]AA_{1 } B_{1 }B[/tex]:
[tex]S = 2 \pi rh[/tex]
[tex]r = 8, h = 7[/tex]

Удоволствието да довършите задачата предоставям любезно на Вас!Успех!

[ptj]

Прекалено много писане за елементарна задача.

Равенството на ъглите между околните ръбове и основата ни дава, че 4-тия връх се проектира в центъра на описаната окръжност за основата,

т.е. точно в средата на хипотенузата на основата. Очевидно е, че височината на пирамидата и хипотенузата в основата зависят само от [tex]l[/tex] (чертежа на колегата).

Тогава максималния обем на пирамидата зависи само от ъгъла [tex]\varphi[/tex] между [tex]CO[/tex] и [tex]AB[/tex],

защото височината от [tex]C[/tex] към [tex]AB[/tex] e точно [tex]OC.sin( \varphi )= \frac{l \sqrt{3} }{2}.sin (\varphi) \le \frac{ l\sqrt{3} }{2}.[/tex]

Равенство се достига при [tex]sin( \varphi)=1 \Leftrightarrow \varphi=90 ^\circ \Leftrightarrow \alpha=45 ^\circ[/tex].

[tex]V_{max}= \frac{1}{6}.OC.AB.OM= \frac{1}{6}. \frac{l \sqrt{3}} {2}. \frac{2l \sqrt{3} }{2}. \frac{l}{2}= \frac{l^3}{8}[/tex]