пресечен конус

[Гост]

От дърво с форма на пресечен конус, малката основа на който има диаметър d = 20 см, трябва да се издяла греда с напречно сечение правоъгълник. Да се определи какви размери трябва да има това сечение, че за направата на гредата да се похаби най-малко

[ammornil]

От дърво с форма на пресечен конус, малката основа на който има диаметър d = 20 см, трябва да се издяла греда с напречно сечение правоъгълник. Да се определи какви размери трябва да има това сечение, че за направата на гредата да се похаби най-малко

$\\[12pt] a, b; \quad b\le{}a<20, \quad S=a\cdot{}b <100\pi, \quad a^{2}+b^{2}=d^{2} \Leftrightarrow b=\sqrt{400-a^{2}} \\[6pt] S(a)=a\sqrt{400-a^{2}} \\[6pt] S'(a)=\sqrt{400-a^{2}}+\dfrac{a\cdot{}(-2a)}{2\sqrt{400-a^{2}}}=\dfrac{2(400-a^{2})-2a^{2}}{2\sqrt{400-a^{2}}}=\dfrac{400-2a^{2}}{\sqrt{400-a^{2}}}=0 \\[6pt] \quad \Rightarrow 400-2a^{2}=0 \Rightarrow a=10\sqrt{2} \\[6pt] S''(a)=\dfrac{-2a\sqrt{400-a^{2}}-\dfrac{(400-2a^{2})\cdot{}(-2a)}{2\sqrt{400-a^{2}}}}{400-a^{2}}= \dfrac{\dfrac{-4a(400-a^{2})+2a(400-a^{2})}{2\sqrt{400-a^{2}}}}{400-a^{2}}= \dfrac{-2a(400-a^{2})}{(400-a^{2})\cdot{}2\sqrt{400-a^{2}}} \\[6pt] S''(a)=\dfrac{-a}{\sqrt{400-a^{2}}} \Rightarrow S''(10\sqrt{2})<0 \Rightarrow S(10\sqrt{2})=S_{max} \\[12pt] V=S\cdot{}h \Rightarrow V_{max}: S\to{}S_{max} \\[12pt] a=10\sqrt{2}, \quad b=\sqrt{400-(10\sqrt{2})^{2}}=10\sqrt{2}$ $\\[24pt]$Излиза, че е най-пестящо материал e да направим греда с квадратно сечение, със страна $10\sqrt{2}[cm]$