равнобедрен трапец

[Гост]

Трябва да се направи напоителен канал с напречно сечение равнобедрен трапец, който има дълбочина и и лице на сечението S (S определя дебита, пропускателната способност на канала). Да се определи ъгълът, който наклонената стена на канала трябва да сключва с хоризонталната повърхност, тъй че за бетонирането на дъното и стените да се употреби най-малко материал.

[ammornil]

Допускаме, че каналът ще лежи на малката основа на сечението.$\\[12pt]\text{Дадено} \quad h, S \\ \text{Нека} \quad \begin{cases} a \quad \text{голяма основа на трапецовидното сечение} \\ b\quad \text{малка основа на трапецовидното сечение} \\ h \quad \text{височина на трапецовидното сечение} \\ p \quad \text{дължина на бедрото на трапецовидното сечение} \\ \alpha \quad \text{ъгъл между бедрото и голямата основа на трапецовидното сечение} \\ l \quad \text{дължина на канала} \end{cases} \\[12pt] S=\dfrac{a+b}{2}\cdot{}h \Rightarrow a+b=\dfrac{2\cdot{}S}{h} \\[6pt] \tg{\alpha}=\dfrac{h}{\dfrac{a-b}{2}}=\dfrac{2\cdot{}h}{a-b} \Rightarrow a-b=\dfrac{2\cdot{}h}{\tg{\alpha}}\\[6pt] a+b-(a-b)=\dfrac{2\cdot{}S}{h}-\dfrac{2\cdot{}h}{\tg{\alpha}} \quad \Leftrightarrow \quad 2b=\dfrac{2\cdot{}S}{h}-\dfrac{2\cdot{}h}{\tg{\alpha}} \quad \Leftrightarrow \quad b=\dfrac{S}{h}-\dfrac{h}{\tg{\alpha}} \\[6pt] p= \dfrac{h}{\sin{\alpha}} \\[24pt] A=2\cdot{}l\cdot{}p+l\cdot{}b= l\begin{pmatrix}2\cdot{}\dfrac{h}{\sin{\alpha}}+\dfrac{S}{h}-\dfrac{h}{\tg{\alpha}} \end{pmatrix}= \underbrace{l}_{=const}\begin{bmatrix}\dfrac{h}{\sin{\alpha}}\begin{pmatrix}2-\cos{\alpha} \end{pmatrix}+\underbrace{\dfrac{S}{h}}_{=const} \end{bmatrix}\\ \because{} \exists{} A_{min} \Rightarrow \dfrac{h}{\sin{\alpha}}\begin{pmatrix}2-\cos{\alpha} \end{pmatrix}\to{}min \\[24pt] f(\alpha)=\dfrac{h}{\sin{\alpha}}\begin{pmatrix}2-\cos{\alpha} \end{pmatrix}= \dfrac{2h}{\sin{\alpha}}-\dfrac{h}{\tg{\alpha}}, \quad 0^{\circ}<\alpha\le{}90^{\circ} \\[6pt]\quad \begin{array}{l} \left(\dfrac{2h}{\sin{\alpha}} \right)'= -\dfrac{2h\cos{\alpha}}{\sin^{2}{\alpha}} \\[12pt] \left( \dfrac{h}{\tg{\alpha}} \right)'=-\dfrac{h\cdot{}\dfrac{1}{\cos^{2}{\alpha}}}{\tg^{2}{\alpha}}= -\dfrac{h}{\cos^{2}{\alpha}\cdot{}\dfrac{\sin^{2}{\alpha}}{\cos^{2}{\alpha}}}= -\dfrac{h}{\sin^{2}{\alpha}}\end{array} \\[6pt] f'(\alpha)= -\dfrac{2h\cos{\alpha}}{\sin^{2}{\alpha}}- \left( -\dfrac{h}{\sin^{2}{\alpha}} \right)= \dfrac{h(1-2\cos{\alpha})}{\sin^{2}{\alpha}}=0 \Rightarrow 2\cos{\alpha}=1 \\[6pt] \quad \cos{\alpha}=\dfrac{1}{2} \\[6pt]$ $$ \alpha=60^{\circ} $$ $\\[24pt]$ Оставям на Вас до докажете, че това е стойността в която функцията има минимум (намирате втора производна и пресмятата стойността ѝ за $ \alpha=60^{\circ} $).