равнобедрен трапец

[Гост]

Трябва да се направи улей с напречно сечение равнобедрен трапец, основата и бедрата на който имат дължина 45 см, така че той да има най-голяма пропускателна способност. Каква трябва да бъде дължината на голямата (горната) основа на сечението на улея?

[ammornil]

Трябва да се направи улей с напречно сечение равнобедрен трапец, основата и бедрата на който имат дължина 45 см, така че той да има най-голяма пропускателна способност. Каква трябва да бъде дължината на голямата (горната) основа на сечението на улея?

$\\[12pt]$

Screenshot 2025-01-29 162058.png (14.87 KiB) Прегледано 85 пъти

$\\[12pt] CDAB, \quad CD\|AB, \quad CD<AB, \quad BC=CD=DA=45 \\[6pt] \because{}S_{ABCD}=S_{max} \Rightarrow AB=?\\[12pt] \angle{CBA}= \angle{ABC}= \alpha\\[6pt] \begin{cases} C_{1}\in{}AB, CC_{1}\bot{}AB \\ D_{1}\in{}AB, DD_{1}\bot{}AB \end{cases} \Rightarrow CC_{1}\overset{\|}{=}DD_{1} \\[6pt] C_{1}D_{1}\in{}AB \Rightarrow C_{1}D_{1}\| CD \\[6pt] \begin{cases} CC_{1}\|DD_{1} \\ C_{1}D_{1}\|CD \end{cases} \Rightarrow C_{1}D_{1}= CD= 45 \\[6pt] \triangle{BC_{1}C} \cong{} \triangle{AD_{1}D} \begin{cases} \angle{BC_{1}C}=\angle{AD_{1}D}=90^{\circ} \\ BC=AD \\ CC_{1}=DD_{1} \end{cases} \Rightarrow BC_{1}=AD_{1} \\[6pt] \triangle{BC_{1}C}: \quad \angle{BC_{1}C}=90^{\circ} \Rightarrow \begin{array}{|l} BC_{1}=BC\cdot{}\cos{\alpha}= 45\cos{\alpha} \\ CC_{1}=BC\cdot{}\sin{\alpha}= 45\sin{\alpha} \end{array} \\[6pt] \triangle{BC_{1}C}\cong{}\triangle{AD_{1}D} \quad \begin{cases} \angle{BC_{1}C}= \angle{AD_{1}D}= 90^{\circ} \\ BC=AD \\ CC_{1}=DD_{1} \end{cases} \Rightarrow BC_{1}= AD_{1}= 45\cos{\alpha} \\[6pt] AB= BC_{1} +C_{1}D_{1} +D_{1}A=45 +2\cdot{}45\cos{\alpha}= 45(1+2\cos{\alpha}) \\[6pt] S_{CDAB}= \dfrac{AB+CD}{2}\cdot{}CC_{1}= \dfrac{45(1+2\cos{\alpha}) +45}{2}\cdot{}45\sin{\alpha}= 45^{2}\sin{\alpha}(1+\cos{\alpha})\\[6pt] S'_{CDAB}=45^{2}\begin{bmatrix} \cos{\alpha}(1+\cos{\alpha})+\sin{\alpha}(-\sin{\alpha}) \end{bmatrix}= 45^{2}\begin{bmatrix}\cos{\alpha}+\cos^{2}{\alpha}-(1-\cos{2}{\alpha}) \end{bmatrix}=45^{2}(2\cos^{2}{\alpha}+\cos{\alpha}-1) \\[6pt] \because{}\exists{}S_{extr} \Rightarrow S'_{CDAB}=0 \Rightarrow 2\cos^{2}{\alpha}+\cos{\alpha}-1 \Rightarrow \cos_{1,2}{\alpha}=\dfrac{-1\pm{}\sqrt{1^{2}-4\cdot{}2\cdot{}(-1)}}{2\cdot{}2}= \dfrac{-1\pm{}3}{4} \\[6pt] {\alpha}<90^{\circ} \Rightarrow \cos{\alpha}>0 \Rightarrow \cos{\alpha}=\dfrac{1}{2} \\[6pt] AB_{S_{max}}=45(1+2\cos{\alpha})= 45\left(1+2\cdot{}\dfrac{1}{2} \right)= 90[cm]$