кълбо

[Гост]

От метално кълбо с радиус R трябва да се изреже правилна четириъгълна призма с най-голям обем. Намерете измеренията на призмата.

[ammornil]

От метално кълбо с радиус R трябва да се изреже правилна четириъгълна призма с най-голям обем. Намерете измеренията на призмата.

$\\[12pt] a>0, \hspace{0.4em} c>0 \\[6pt] V=a^{2}\cdot{}c <\dfrac{4}{3}\cdot{}\pi\cdot{}R^{3} \\ a^{2}+a^{2}+c^{2}= (2R)^{2} \quad \Leftrightarrow \quad c^{2}= 4R^{2} -2a^{2} \quad \Leftrightarrow \quad c=\sqrt{4R^{2}-2a^{2}} \\[6pt] V(a)=a^{2}\cdot{}\sqrt{4R^{2}-2a^{2}} \\[6pt] V'(a)= 2a\cdot{}\sqrt{4R^{2} -2a^{2}} +a^{2}\cdot\dfrac{-4a}{2\sqrt{4R^{2}-2a^{2}}}= \dfrac{2a(4R^{2}-2a^{2})-2a^{3}}{\sqrt{4R^{2}-2a^{2}}} \\[6pt] V'(a)=\dfrac{2a(4R^{2}-3a^{2})}{\sqrt{4R^{2}-2a^{2}}}=0 \Rightarrow \begin{cases} a=0 \notin{} \text{Д}a \\ a=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}R \in{} \text{Д}a\end{cases}\\[6pt] c= \sqrt{4R^{2}-2a^{2}}= \sqrt{4R^{2}-2\cdot{}\dfrac{4}{3}R^{2}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}R \\[6pt] V''(a)=\dfrac{(8R^{2}-18a^{2})\cdot{}\sqrt{4R^{2}-2a^{2}}-(8R^{2}a-6a^{3})\cdot{}\dfrac{-4a}{2\sqrt{4R^{2}-2a^{2}}}}{4R^{2}-2a^{2}}=\dfrac{(8R^{2}-18a^{2})(4R^{2}-2a^{2})+2a(8R^{2}a-6a^{3})}{(4R^{2}-2a^{2})\sqrt{4R^{2}-2a^{2}}}=\cdots{}$

$$ a=c=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}R $$