пирамида

[Гост]

Основата на пирамида АВСМ е правоъгълен триъгълник АВС с хипотенуза АВ = с и остър ъгъл ВАС, равен на алфа . Околните ръбове сключват с равнината на основата равни ъгли. Двустенният ъгъл между равнините (ВСМ) и (АВС) е равен на бета.
а) Да се намери обемът на пирамидата.
б) Ако В = 45°, да се намери за кои стойности на а обемът на пирамидата е най- голям.

[S.B.]

Основата на пирамида АВСМ е правоъгълен триъгълник АВС с хипотенуза АВ = с и остър ъгъл ВАС, равен на алфа . Околните ръбове сключват с равнината на основата равни ъгли. Двустенният ъгъл между равнините (ВСМ) и (АВС) е равен на бета.
а) Да се намери обемът на пирамидата.
б) Ако В = 45°, да се намери за кои стойности на а обемът на пирамидата е най- голям.

Без заглавие - 2025-01-17T213137.144.png (196.29 KiB) Прегледано 141 пъти

а)
Околните ръбове сключват с основата равни ъгли ,следователно върхът $M$ се проектира върху центъра на описаната около основата окръжност, т.$H$ ,която е среда на хипотенузата на основата $AB$.Построявам [tex]HN \bot BC[/tex]
$HN$ е проекция на $MN$ в равнината на [tex]\triangle ABC,HN \bot BC \Rightarrow MN \bot BC[/tex] (Теорема на трите перпендикуляра)[tex]\Rightarrow \angle MNH[/tex] е линейният ъгъл на двустенния ъгъл между равнините $(ABC)$ и $(MBC)$,[tex]\Rightarrow MNH = \beta[/tex]
Нека $AC = b,BC = a ,HM = h$
$HN$ е средна отсечка (ЗАЩО?) [tex]\Rightarrow HN = \frac{b}{2}[/tex]

От [tex]\triangle ABC \rightarrow[/tex]
[tex]\frac{AC}{AB}= \cos \alpha \Leftrightarrow \frac{b}{c} = \cos \alpha \Rightarrow b = c.\cos \alpha[/tex]
[tex]\frac{BC}{AC} = \sin \alpha \Leftrightarrow \frac{a}{c} = \sin \alpha \Rightarrow a = c.\sin \alpha[/tex]
$$S_{ABC } = \frac{a.b}{2} \Leftrightarrow S_{ABC } = \frac{1}{2} c^{2 }.\sin \alpha .\cos \alpha $$
От [tex]\triangle MHN \rightarrow[/tex]
[tex]\frac{MH}{HN} = \tg \beta \Leftrightarrow \frac{h}{ \frac{b}{2} } = \tg \beta \Rightarrow h = \frac{b}{2}\tg \beta = \frac{c}{2}.\cos \alpha .\tg \beta[/tex]
[tex]V_{ABCM } = \frac{1}{3} S_{ABC }.h \Rightarrow V_{ABCM } = \frac{1}{3}. \frac{1}{2}. c^{2 }.\sin \alpha .\cos \alpha. \frac{c}{2}.\cos \alpha.\tg \beta[/tex]
$$\Rightarrow V_{ABCM } = \frac{ c^{3 } }{12} . \cos^{2 } \alpha .\sin \alpha .\tg \beta $$

б)
Д.М.:[tex]\alpha \in (0;90 ^\circ) , \beta = 45 ^\circ \Rightarrow \tg \beta = 1[/tex]
$$V( \alpha ) = \frac{ c^{3 } }{12}. \cos^{2 } \alpha .\sin \alpha $$
[tex]V'( \alpha ) = \frac{ c^{3 } }{12}(-2\cos \alpha. \sin^{2 } \alpha + \cos^{3 } \alpha) = 0[/tex]
[tex]\cos^{3 } \alpha - 2\sin^{2 }.\cos \alpha = 0 \Leftrightarrow \cos \alpha ( \cos^{2 } \alpha - 2 \sin^{2 } \alpha) = 0[/tex]
[tex]\alpha \in (0;90 ^\circ ) \Rightarrow \cos \alpha \ne 0[/tex]
[tex]\cos^{2 } - 2 \sin^{2 } \alpha = 0 \Leftrightarrow \cos^{2 } \alpha - 2(1 - \ cos^{2 } \alpha) = 0 \Leftrightarrow \cos^{2 } \alpha - \frac{2}{3} = 0[/tex]
[tex](\cos \alpha + \frac{ \sqrt{6} }{3})(\cos \alpha- \frac{ \sqrt{6} }{3}) = 0[/tex]
[tex]\cos \alpha + \frac{ \sqrt{6} }{3} = 0 \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{ \sqrt{6} }{3} \Rightarrow \alpha >90 ^\circ[/tex],което е извън Д.М.
[tex]\cos \alpha - \frac{ \sqrt{6} }{3} = 0 \Rightarrow \cos \alpha = \frac{ \sqrt{6} }{3}[/tex]
За тази стойност на [tex]\cos \alpha ,V( \alpha )[/tex] притежава екстремум.
Намерете втората производна и проверете дали за [tex]\cos = \frac{ \sqrt{6} }{3}[/tex] втората производна [tex]V'' (\alpha)<0[/tex]
Ако е изпълнено ,тогава за [tex]\cos \alpha = \frac{ \sqrt{6} }{3}[/tex] обемът достига своят максимум.
Мисля,че вече можете и самостоятелно да довършите задачата.Успех!