Паралелепипед-задача от профилирана подготовка.

[rslavova]

Моля за помощ за следната задача :

Диагоналът d на правоъгълен паралелепипед образува с двете съседни околни стени ъгли, всеки от които е равен на beta. Да се намери обемът на паралелепипеда и ъгълът, образуван от общия ръб на тези стени и отсечката, съединяваща общия връх на тези ъгли с центъра на срещуположната основа.

[ammornil]

Моля за помощ за следната задача :

Диагоналът d на правоъгълен паралелепипед образува с двете съседни околни стени ъгли, всеки от които е равен на beta. Да се намери обемът на паралелепипеда и ъгълът, образуван от общия ръб на тези стени и отсечката, съединяваща общия връх на тези ъгли с центъра на срещуположната основа.

$\\[2pt]$

Screenshot 2025-02-02 121334.png (22.27 KiB) Прегледано 148 пъти

$\\[12pt] ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}, \quad AB\overset{\|}{=}CD, \quad BC\overset{\|}{=}AD, \quad DA\bot{}AB \\[6pt] \hspace{5em} A_{1}B_{1}\overset{\|}{=}C_{1}D_{1}, \quad B_{1}C_{1}\overset{\|}{=}A_{1}D_{1}, \quad D_{1}A_{1}\bot{}A_{1}B_{1} \\[6pt] \hspace{5em} p(ABCD)\|p(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}), \quad AB= A_{1}B_{1}, \quad BC= B_{1}C_{1} \\[6pt] \hspace{5em} AA_{1}\|BB_{1}\|CC_{1}\|DD_{1}, \quad AA_{1}\bot{}p(ABCD)\\[6pt] \hspace{5em} AC_{1}= BD_{1}= CA_{1}= DB_{1}= d, \quad \angle{AD_{1}B}= \angle{BD_{1}C}= \beta \\[12pt] V_{ABCD}=? \\[6pt] \because AC\cap{}BD=O, \angle{DD_{1}O}=? \\[12pt] \triangle{D_{1}AB}: \quad \begin{cases} \angle{BAD_{1}}=90^{\circ} \\ \angle{AD_{1}B}=\beta \\ BD_{1}= d \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} AB=d\cdot{}\sin{\beta} \\ AD_{1}= d\cdot{}\cos{\beta} \end{cases} \\[6pt] \triangle{BCD_{1}}: \quad \begin{cases} \angle{BCD_{1}}=90^{\circ} \\ \angle{BD_{1}C}=\beta \\ BD_{1}= d \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} BC=d\cdot{}\sin{\beta} \\ CD_{1}= d\cdot{}\cos{\beta} \end{cases} \\[6pt] \begin{cases} AB=d\cdot{}\sin{\beta} \\ BC=d\cdot{}\sin{\beta} \end{cases} \Rightarrow \boxed{ \quad AB= BC= CD= AD= A_{1}B_{1}= B_{1}C_{1}= C_{1}D_{1}= A_{1}D_{1}= d\cdot{}\sin{\beta} \quad }\\[6pt]$

Скрит текст: покажи

Screenshot 2025-02-02 122547.png (27.22 KiB) Прегледано 148 пъти

$ \\[6pt] AB^{2} +AD^{2} +DD_{1}^{2} =BD_{1}^{2} \quad \Leftrightarrow \quad DD_{1}^{2}= d^{2} -2\cdot{}d^{2}\cdot{}\sin^{2}{\beta} \quad \Leftrightarrow \quad \boxed{ \quad DD_{1}= d\cdot{}\sqrt{1 -2\cdot{}\sin^{2}{\beta}} \quad } \\[6pt] BD^{2}= AB^{2} +AD^{2} \quad \Leftrightarrow \quad BD= \sqrt{2}\cdot{}d\cdot{}\sin{\beta} \Rightarrow DO=\dfrac{1}{2}\cdot{}BD \quad \Leftrightarrow \quad \boxed{ \quad DO= \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot{}d\cdot{}\sin{\beta} \quad } \\[12pt] V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}= AB\cdot{}AD\cdot{}DD_{1}= d\cdot{}\sin{\beta}\cdot{}d\cdot{}\sin{\beta}\cdot{}d\cdot{}\sqrt{1 -2\cdot{}\sin^{2}{\beta}} $ $$\Large V_{ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}= d^{3}\cdot{}\sin^{2}{\beta}\cdot{}\sqrt{1 -2\cdot{}\sin^{2}{\beta}} $$ $\tg{\angle{DD_{1}O}}= \dfrac{OD}{DD_{1}}= \dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot{}d\cdot{}\sin{\beta}}{d\cdot{}\sqrt{1 -2\cdot{}\sin^{2}{\beta}}} =\dfrac{\sqrt{2}\cdot{}\sin{\beta}}{2\cdot{}\sqrt{1 -2\cdot{}\sin^{2}{\beta}}} $ $$ \Large \angle{DD_{1}O}= \arctg{\begin{pmatrix}\dfrac{\sqrt{2}\cdot{}\sin{\beta}}{2\cdot{}\sqrt{1 -2\cdot{}\sin^{2}{\beta}}}\end{pmatrix}} $$

Проверете аритметиката и вероятно аргументът на аркустангенса може да се преобразува в по-приятна форма чрез половинката или двойния на $\beta$, но и така следва да се приеме за решение.

[rslavova]

Благодаря за решението