Сечение на многостен с равнина

[Гост]

Задача 3. Дадена е правилна четириъгълна пирамида ABCDM с основен ръб AB = корен от 2 и околен ръб AM = 2. Да се намери лицето на сечението на пирамидата с равнина, която минава през връх В и е перпендикулярна на ръба DM.

[S.B.]

Задача 3. Дадена е правилна четириъгълна пирамида ABCDM с основен ръб AB = корен от 2 и околен ръб AM = 2. Да се намери лицето на сечението на пирамидата с равнина, която минава през връх В и е перпендикулярна на ръба DM.

Без заглавие - 2025-05-15T093301.240.png (384.84 KiB) Прегледано 133 пъти

[tex]BD = \sqrt{2}. \sqrt{2} = 2 \Rightarrow BDM[/tex] е равностранен, със страни [tex]DM,DB,BM = 2 , BT \bot DM, T \in DM[/tex]
$BT$ е височина в равностранния [tex]\triangle BDM \Rightarrow BT = \sqrt{3} , MT = DT = 1[/tex]
През т. $Т$ построявам симетралната равнина на $DM$,която пресича стените на пирамидата $(DMC)$ и $(DMA)$ съответно в [tex]TP,P\in CM[/tex] и [tex]TQ,Q\in AM[/tex]
$TQBP$ е търсеното сечение,което е перпендикулярно на $DM$ и минава през т.$B$
Ще разгледам стената $(DCM)$:
Нека [tex]\angle DMC = \varphi[/tex]
За [tex]\triangle DMC[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]\cos \varphi = \frac{ DC^{2 } - DM^{2 } - CM^{2 } }{-2.DM.CM} \Leftrightarrow \cos \varphi = \frac{2 - 4 - 4}{-2.2.2} = \frac{3}{4}[/tex]
[tex]\triangle TMP[/tex] е правоъгълен (ЗАЩО ?) [tex]\Rightarrow \frac{TM}{MP} = \cos \varphi \Leftrightarrow \frac{1}{MP} = \frac{3}{4} \Rightarrow MP = \frac{4}{3}[/tex]
и след Питагорова теорема [tex]TP = \frac{ \sqrt{7} }{3}[/tex]
[tex]MP = PD \Rightarrow PD = \frac{4}{3}[/tex]
[tex]\triangle BCP \cong \triangle DPC[/tex] (първи признак)
[tex]\Rightarrow BP = DP = \frac{4}{3}[/tex]
[tex]\triangle TQB \cong \triangle TPB[/tex] (ЗАЩО?)
[tex]S_{TQBP } = 2 S_{TPB }[/tex]
За [tex]\triangle TPB[/tex] прилагам Косинусова теорема:

[tex]\cos \angle PBT = \frac{ TP^{2 } - PB^{2 } - TB^{2 } }{-2.PB.TB} = \frac{ \frac{7}{9} - 3 - \frac{16}{9} }{-2. \sqrt{3}. \frac{4}{3} } = \frac{ \frac{36}{9} }{ \frac{8 \sqrt{3} }{3} } = \frac{36.}{8.9. \sqrt{3} } = \frac{1}{2 \sqrt{3} } = \frac{ \sqrt{3} }{6} \Rightarrow \sin \angle PBT = \frac{ \sqrt{33} }{6}[/tex]
[tex]S_{TBP } = \frac{1}{2}. \frac{4}{3} . \sqrt{3}. \frac{ \sqrt{33} }{6} =.... \frac{ \sqrt{11} }{3}[/tex]
$$\Rightarrow S_{TQBP } = \frac{2 \sqrt{11} }{3} $$