Пирамида

[pepi23]

Основата ABCD на четириъгълна пирамида ABCDM е трапец, за който бедрото AD = 5 cm, основите са AB = 10 cm и CD = 3 cm, \(\angle ADK=90^{\circ }\), където точка K е среда на BC. Ако върхът M се проектира ортогонално в точка D и косинусът на ъгъла между медианата MK и равнината на основата е \(\frac{1}{4}\), то намерете разстоянието от медицентъра G на \(\triangle BCM\) до равнината на основата.

[Darina73]

Отбелязваме [tex]\angle[/tex]DKM=[tex]\alpha[/tex] ,cos[tex]\alpha= \frac{1}{4}[/tex]
Нека правата DK пресича правата AB в т.P .
Нанасяме точките G,E в/у отсечката MK така ,че ME=EG=GK .
Нанасяме точките F,H в/у отсечката DK така ,че DF=FH=HK .
Търсеното разстояние е GH=x=?
Продължаваме DK до пресичането и с правата AB в т. P
[tex]\triangle[/tex]BPK[tex]\cong \triangle[/tex]CDK по 2 признак [tex]\Rightarrow[/tex] BP=CD=3 см. и DK=PK
[tex]\triangle[/tex]APD -правоъг. [tex]AD^{2 } +PD^{2 } =AP^{2 } ; 5^{2 } +PD^{2 } =13^{2 }[/tex] ;PD=12 см.
Тогава DK=PK=[tex]\frac{PD}{2} =\frac{12}{2}[/tex] =6см.

([tex]\triangle[/tex]DKM -правоъгълен ) cos[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{DK}{KM} ; \frac{1}{4} =\frac{6}{KM}[/tex] ;KM=24 см.
DM=? [tex]DM^{2 } +DK^{2 } =KM^{2 } ; DM^{2 } +36=576[/tex] ;DM=6[tex]\sqrt{15}[/tex] см.
Нанесахме точките F,H,G,E така ,че (1) GH е средна отс. в [tex]\triangle[/tex]FKE и (2) EF е средна отс. в правоъгълния трапец DHGM .

От (1) [tex]\Rightarrow[/tex] GH=[tex]\frac{EF}{2} ;x=\frac{EF}{2}[/tex] ;EF=2x
От (2) [tex]\Rightarrow[/tex] EF=[tex]\frac{DM+GH}{2} ;2x= \frac{6 \sqrt{15} +x}{2} ;3x=6 \sqrt{15}[/tex] ;x=GH=2[tex]\sqrt{15}[/tex] см.