Радиус на вписана сфера в триъгълна пирамида

[Гост]

Здравейте. Попаднах на една задача, която някак си има две решения и се чудя защо е така. Ето условието:

"Основата на пирамида е триъгълник със страни 5 cm, 6 cm и 9 сm. Всички околни стени сключват с основата ъгъл [tex]\psi[/tex] и [tex]\sin{}\psi[/tex] = [tex]\frac{2 \sqrt{2} }{3}[/tex]. Намерете радиуса на вписаната в пирамидата сфера."

Има два начина на решаване - 1. Може да използваме свойството на ъглополовящата в триъгълник с апотемата k, височината на пирамидата h и радиуса на вписаната окръжност в основата [tex]r_c[/tex] -> [tex]\frac{r_c}{h -r_c}[/tex] = [tex]\frac{r}{h}[/tex]

Така аз намирам, че отговора е [tex]r_c[/tex] =[tex]\frac{8 \sqrt{2} - 4}{7}[/tex]cm

2. Може да използваме тангенс на половината от ъгъла пси и да видим в правоъгълния триъгълник отношението на радиуса на сферата и радиуса на вписаната окръжност в основата - [tex]\tan{} \frac{\psi}{2}[/tex] = [tex]\frac{r_c}{r}[/tex].

Така отговора е [tex]r_c[/tex] = 1 cm

Защо е така и кой е правилния отговор???

[S.B.]

Здравейте. Попаднах на една задача, която някак си има две решения и се чудя защо е така. Ето условието:

"Основата на пирамида е триъгълник със страни 5 cm, 6 cm и 9 сm. Всички околни стени сключват с основата ъгъл [tex]\psi[/tex] и [tex]\sin{}\psi[/tex] = [tex]\frac{2 \sqrt{2} }{3}[/tex]. Намерете радиуса на вписаната в пирамидата сфера."

Има два начина на решаване - 1. Може да използваме свойството на ъглополовящата в триъгълник с апотемата k, височината на пирамидата h и радиуса на вписаната окръжност в основата [tex]r_c[/tex] -> [tex]\frac{r_c}{h -r_c}[/tex] = [tex]\frac{r}{h}[/tex]

Така аз намирам, че отговора е [tex]r_c[/tex] =[tex]\frac{8 \sqrt{2} - 4}{7}[/tex]cm

2. Може да използваме тангенс на половината от ъгъла пси и да видим в правоъгълния триъгълник отношението на радиуса на сферата и радиуса на вписаната окръжност в основата - [tex]\tan{} \frac{\psi}{2}[/tex] = [tex]\frac{r_c}{r}[/tex].

Така отговора е [tex]r_c[/tex] = 1 cm


Защо е така и кой е правилния отговор???

Радиусът на вписана в пирамида сфера се намира чрез следната формула:
$$R = \frac{3V}{ S_{пълна } } $$
Всички стени на пирамидата сключват с основата равни ъгли [tex]\Rightarrow[/tex] върхът се проектира върху центъра на вписаната в основата окръжност.Даден Ви е синусът на този ъгъл.След като намерите радиуса на вписаната в основата окръжност, като използвате синуса можете да намерите и височината и апотемата на пирамидата.Основата на пирамидата е определена с трите си основни ръба,така,че Вие разполагате с всичко което Ви е необходимо за да намерите и обема на пирамидата и пълната ѝ повърхнина ,за да можете да приложите тази формула за радиуса на вписаната сфера.
Успех!