Четириъгълна пирамида

[Гост]

Четириъгълната пирамида ABCDM има за основа ромб със страна "a" и остър ъгъл [tex]\alpha[/tex].Върхът M се проектира върху един от основните ръбове,а диагоналните сечения сключват с основата на пирамидата ъгли [tex]\varphi _{1 }[/tex] и [tex]\varphi _{2 }[/tex].Да се намери обема на пирамидата.

[S.B.]

Четириъгълната пирамида ABCDM има за основа ромб със страна "a" и остър ъгъл [tex]\alpha[/tex].Върхът M се проектира върху един от основните ръбове,а диагоналните сечения сключват с основата на пирамидата ъгли [tex]\varphi _{1 }[/tex] и [tex]\varphi _{2 }[/tex].Да се намери обема на пирамидата.

Без заглавие - 2026-03-03T094745.652.png (454.41 KiB) Прегледано 119 пъти

Нека върхът $M$ се проектира върху ръба $CD$ в т.$H$ , [tex]H \in CH, H \ne C, H \ne D ,CH \ne DH[/tex]
[tex]HQ \bot DB, Q \in DB , HP \bot AC,P \in AC[/tex]
Според теоремата за трите перпендикуляра [tex]MQ \bot DB , MP \bot AC[/tex]
[tex]\angle MQH = \varphi _{1 } , \angle MPH = \varphi _{2 }[/tex]

Върху основата $ABCD$:
Нека [tex]DH = x , CH = a-x[/tex]
[tex]\angle HCP = \angle DHQ = \frac{ \alpha }{2}[/tex] (ъгли с взимно успоредни рамене)
От [tex]\triangle CHP : \frac{HP}{HC} = \sin \frac{ \alpha }{2} \Leftrightarrow \frac{HP}{a - x} = \sin \frac{ \alpha }{2} \Rightarrow HP = (a-x).\sin \frac{ \alpha }{2}[/tex]
От [tex]\triangle DHQ : \frac{HQ}{DH} = \cos \frac{ \alpha }{2} \Leftrightarrow \frac{HQ}{x} = \cos \frac{ \alpha }{2} \Rightarrow HQ = x.\cos \frac{ \alpha }{2}[/tex]

В пирамидата $ABCDM$:

От [tex]\triangle MHQ : \frac{MH}{QH} = \tg \varphi _{1 } \Leftrightarrow MH = QH.\tg \varphi _{1 } \Rightarrow MH = x.\cos \frac{ \alpha }{2}.\tg \varphi _{1 }[/tex]
От [tex]\triangle MHP : \frac{MH}{PH} = \tg \varphi _{2 } \Leftrightarrow MH = PH.\tg \varphi _{2 } \Leftrightarrow MH = (a-x).\sin \frac{ \alpha }{2}.\tg \varphi _{2 }[/tex]
Приравнявам и получавам:
[tex]x.\cos \frac{ \alpha }{2}.\tg \varphi _{1 } = (a - x).\sin \frac{ \alpha }{2} .\tg \varphi _{2 } \Rightarrow[/tex] след преобразуване:
$$x = \displaystyle \frac{a.\sin \frac{ \alpha }{2}.\tg \varphi _{2 } }{\cos \frac{ \alpha }{2}.\tg \varphi _{1 } + \sin \frac{ \alpha }{2}.\tg \varphi _{2 } }$$
За да получим височината $MH$ заместваме полученият израз за $x$ в равенството [tex]MH = x.\cos \frac{ \alpha }{2}\tg \varphi _{1 }[/tex]

[tex]V = \frac{MH}{3}. S_{ABCD } \Leftrightarrow V = \frac{MH}{3}. a^{2 }\sin \alpha......[/tex]
Удоволствието да довършите задачата оставям изцяло на Вас!