пирамида

[Гост]

Здравейте, моля за помощ с решението на теза задача. Като б) подточка съм го решил. Имам затруднения с в).

[ammornil]

IMG_0552.jpeg (1.14 MiB) Прегледано 28 пъти

$\\[6pt]$

Screenshot 2026-05-09 142310.png (60.08 KiB) Прегледано 28 пъти

$\\[12pt] AQ=AP= k\cdot{a}, \quad AD=AB=a \quad \Rightarrow DQ=BP=(1-k)\cdot{a}, \quad k\in{(0,1)} \\[6pt] PQ\| BD, \quad BD= a\sqrt{2}, \quad \dfrac{AQ}{AD}= \dfrac{PQ}{BD} \Rightarrow PQ=\dfrac{AQ\cdot{BD}}{AD}= \dfrac{k\cdot{a}\cdot{a\sqrt{2}}}{a}= k\cdot{a}\cdot{\sqrt{2}} \\[6pt] \begin{cases} AO=\dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\ AE=a \\ \angle{AOE}=90^{\circ} \end{cases} \Rightarrow EO= \sqrt{AE^{2} -AO^{2}}= \frac{a\sqrt{2}}{2} \Rightarrow AO=OE \Rightarrow \angle{EAO}=45^{\circ} \\[6pt] \alpha \| AE \Rightarrow \angle{\left(\alpha; p(ABCD)\right)}= 45^{\circ} \\[12pt] \begin{cases} X\in{DE}, QX\|AE \\ Y\in{BE}, PY\|AE \end{cases} \Rightarrow PQXY \| AE, \Rightarrow PQXY \in \alpha \rightarrow \text{ е търсеното сечение} \\[6pt] p(DBE)\bot p(ABCD) \Rightarrow \because YF\bot{p(ABCD)} \quad \Rightarrow \ F\in{BD} \\[6pt] \begin{cases} YF\bot{BD} \\ PF\bot{BD} \end{cases} \Rightarrow PY\bot{BD} \quad (T3\bot ) \\[6pt] \begin{cases} PF\bot{BD} \\ PQ \| BD \end{cases} \Rightarrow PF\bot{PQ}, \quad \begin{cases} PY\bot{BD} \\ PQ \| BD \end{cases} \Rightarrow PY\bot{PQ} \\[6pt] \begin{cases} YP\bot{PQ} \\ FY\bot{PQ} \end{cases} \Rightarrow \angle{YPF}=45^{\circ} \text{ линеен на двустенния } \angle{\left(\alpha; p(ABCD)\right)} \\[6pt] \begin{cases} PF\bot{BD} \\ AO\bot{BD} \end{cases} \Rightarrow AO\bot{PF} \\[6pt] \dfrac{PF}{AO}= \dfrac{PB}{AB} \quad \Rightarrow PF= \dfrac{PB\cdot{AO}}{AB}= \dfrac{(1-k)\cdot{a}\cdot{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}}{a}= \dfrac{(1-k)\sqrt{2}}{2}\cdot{a} \\[6pt] \triangle{PFY} \quad \begin{cases} \angle{PFY}= 90^{\circ} \\ \angle{FPY}= 45^{\circ} \end{cases} \Rightarrow PF=FY \Rightarrow PY= PF\sqrt{2}= \dfrac{(1-k)\sqrt{2}}{2}\cdot{a}\cdot{\sqrt{2}}= (1-k)a \\[6pt] PQXY \text{ е успоредник по построение}, \quad PQ\bot{YP} \\[6pt] \quad \Rightarrow S_{PQXY}= PQ\cdot{PY} =\sqrt{2}k(1-k)\cdot{a^{2}} $ Лицето има максимум тогава когато $f(k)=k\cdot{(1-k)}$ има максимум. $\\[6pt] f(k)=k-k^{2}, \quad f'(k)=1-2k, \quad f'\left(\dfrac{1}{2}\right)=0 \Rightarrow f(k)_{max}= f\left(\dfrac{1}{2}\right) \Rightarrow S_{max}=\sqrt{2}\cdot{\dfrac{1}{2}}\cdot{\dfrac{1}{2}}\cdot{a^{2}}= \dfrac{a\sqrt{2}}{4}\\[12pt]$ Не получавам дадения отговор. Проверете ми сметките, може да имам изчислителна грешка, или публикуваният отговор е грешен.$\\[24pt]$Това е според мен решението като идея. Ако сте учили вектори, тогава може би ще е по-кратко да преставите $A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,a,0), E\left(\dfrac{a}{2},\dfrac{a}{2},\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)$ и оттам да пресметнете дължините на нужните вектори за лицето на сечението, което е правоъгълник.

[ammornil]

Изпуснал съм една втора степен по-торе. Веният запис накрая трябва да бъде $$ {k=\dfrac{1}{2}, \rightarrow S_{PQXY_{max}}=\dfrac{a^{2}\sqrt{2}}{4} }$$ Освен това, даденият отговор не може да е верен. В задачата се търси $k$, което е безразмерна величина, а даденият отговор е някакво лице.