Разстояние между два срещоположни ръба

[S.B.]

Да се изрази разстоянието $d$ между два срещуположни ръба на правилна триъгълна пирамида чрез обема ѝ $V$,дължината $l$ на околния ръб и дължината $a$ на основния ръб.

[ammornil]

Screenshot 2026-09-17 200356.png (69.2 KiB) Прегледано 35 пъти

$\\[12pt] ABCM, \quad M\notin{p(ABC)}, \quad AB=BC=AC=\underline{a}, \quad AM=BM=CM =\underline{l}, \quad V_{ABCM}= \underline{V}\\[6pt] d(AC,BM)=f(a, l, V)= ?\\[12pt] \begin{cases} N \in{AB}, AN=BN \\ P \in{BC}, BP=PC \\ Q \in{AC}, AQ=QC \\ BQ \cap{AP} = G \Rightarrow MG\bot{p(ABC)} \end{cases} \\[6pt] \sqsupset{} MG=H, \angle{MBG}= \alpha \\[6pt] \triangle{ABM} \cong \triangle{CBM} \begin{cases} AB=CB \\ AM = CM \\ BM \text{ обща} \end{cases}, (III \text{ признак}) \\[6pt] K\in{BM}, AK\bot{BM} \Rightarrow CK\bot{BM}, CK=AK $ сътоветни височини в еднакви триъгълници. $\\[6pt] \begin{cases} MK\bot{AK} \\ MK\bot{CK} \end{cases} \Rightarrow MK\bot{p(ACK)} \Rightarrow \boxed{(1) \quad MK\bot{QK} \quad } \\[6pt] \triangle{ACK}: \begin{cases} AK=CK \\ AQ=CQ \end{cases} \Rightarrow \boxed{(2) \quad KQ\bot{AC} \quad } \\[12pt] (1) \cap (2) \Rightarrow$ $$ KQ =d(AC,BM)$$ $S_{ABC}= \dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}, \quad V_{ABCM}= \dfrac{1}{3} \cdot{S_{ABC}}\cdot{MG} \Rightarrow H= \dfrac{3V}{S_{ABC}}= \dfrac{4\sqrt{3}V}{a^{2}} \\[6pt] \triangle{MGB}: MG\bot{GB} \Rightarrow \sin{\alpha}= \dfrac{MG}{MB}= \dfrac{H}{l}= \dfrac{4\sqrt{3}V}{a^{2}\cdot{l}} \\[6pt] \triangle{QKB}: QB=\dfrac{a\sqrt{3}}{2} ,\quad QK\bot{KB} \Rightarrow KQ= QB\cdot{\sin{\alpha}}= \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \cdot{\dfrac{4\sqrt{3}V}{a^{2}l}}= \dfrac{6V}{a\cdot{}l}$ $$ d(AC,BM)=\dfrac{6V}{a\cdot{}l} $$

[S.B.]

Да се изрази разстоянието $d$ между два срещуположни ръба на правилна триъгълна пирамида чрез обема ѝ $V$,дължината $l$ на околния ръб и дължината $a$ на основния ръб.

Без заглавие - 2026-09-18T071329.866.png (269.08 KiB) Прегледано 10 пъти

Ето и моето решение :
Построявам [tex]AP \bot CM , BP \bot CM , P \in CM , PQ \bot AB[/tex]
[tex]CM \bot \begin{cases} AP \\ BP\end{cases} \Rightarrow CM \bot (ABP),PQ \in (ABP) \Rightarrow CM \bot PQ[/tex]
$$PQ \bot \begin{cases} AB \\ CM \end{cases}\Rightarrow PQ = d$$
[tex]V_{ABCM } = V_{ABPM } + V_{ABPC } = S_{ABP } .\frac{MP}{3} + S_{ABP }. \frac{CP}{3} = S_{ABP }. \frac{MP + CP}{3} = \frac{AB .PQ}{2}. \frac{CM}{3}[/tex]
[tex]\Rightarrow V = \frac{a.d}{2} . \frac{l}{3} \Leftrightarrow V =\frac{a.d.l}{6}[/tex]
$$\Rightarrow d = \frac{6V}{al}$$