Хитра стереометрия

[BTK Strangler]

Дадена е права призма[tex]ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}[/tex] с височина h и основа успоредник с диагонали AC=p и BD=q. Точка М е разположена върху правата AB така, че т.В е среда на отсечката АМ. Намерете ъгъла между диагоналите AC и BD, при който сферата, описана около тетраедъра [tex]A_{1}MCC_{1}[/tex] има най-малък радиус.

Имам някакво усещане, че отговорът е [tex]cos\alpha = q/p[/tex] или обратното, ама не стигам до там. Господинът каза, че има много хитро решение, но при мен са само каруцараски сметки

[ptj]

Понеже [tex]MCDB[/tex] e успоредник, то може да разглеждаме само пирамидата [tex]AMCC_1[/tex]. За нея [tex]AB=q[/tex],[tex]CM=p[/tex], [tex]CC_1\bot AC[/tex],[tex]CC_1\bot CM[/tex] (призмата е права).
Без загуба на общност може да считаме, че [tex]q>p[/tex] (двата случая са аналогични).

Нека центъра на описаната сфера е т.[tex]O[/tex], а центъра на описаната окръжност за ▲[tex]ACC_1[/tex] e т.[tex]O_1[/tex].

За радиуса на сферата [tex]R[/tex] е изпълнено:

[tex]R^2=(\frac{AC}{ 2})^2+(OO_1)^2= \frac{q^2+h^2}{4 } +(OO_1)^2[/tex] ([tex]\angle ACC_1=90^\circ[/tex]).

Тогава очевидно R е минимално (клони към [tex]\frac{\sqrt{q^2+h^2} }{2 }[/tex]) когато [tex]OO_1[/tex] клони към 0.

Последното е еквивалентно на [tex]\angle ACM[/tex] да клони към 0 (не може да се достигне).
Той е равен точно на ъгъла между диагоналите [tex]AC[/tex] и [tex]DB[/tex] ([tex]\angle AO_1B[/tex]).