триъгълна пирамида

[snake1109]

Точките A, B, C, D са върховете на триъгълна пирамида, а точките M, N, P, Q са съответно техните проекции върху срещуположните им стени. Докажете, че:
а) ако Q е ортоцентърът на триъгълника ABC , то AB[tex]\bot[/tex]CD и AC[tex]\bot[/tex]BD;
б) ако AB=BC и AD=DC, то AC[tex]\bot[/tex]BD;
в) ако AB[tex]\bot[/tex]CD и AC[tex]\bot[/tex]BD, то AD[tex]\bot[/tex]BC.

[ptj]

а.) Прилагаш директно теоремата за 3-те перпендикуляра - околните ръбове се проектират върху височини в основата.

б.)Множеството от точки равноотдалечено от две точки е симетрална равнина. Всяка права от нея е перпендикулярна на правата свързваща тези точки.

в.) Проектираш върха D в равнината ABC. Oт условията за перпендикулярноста на срещуположните ръбове получаваш, че проекцията е пресечената точка на двете височини в основата. Тъй като и 3-тата височина минава през нея (проекцията на D), то и третата двойка срещуположни ръбове са перпендикулярни (теорема за 3-те перпендикуляра).