Задачи за прав кръгов цилиндър

[domlika]

зад. 1 Радиусът на основата на цилиндър е равен на r, а височината му е h ( h>r ). Прекарана е равнина , успоредна на основите така, че лицето на полученото сечение е средно пропорционално на частите на оклната повърхнина на цилиндъра. Намерете разстоянията на секущата равнина до двете основи.


зад. 2 През образуващата на цилиндър са построени две сечения на цилиндъра , сключващи помежду си ъгъл 60 градуса. Намерете лицето на околната повърхнина на цилиндъра , ако лицата на двете сечения са Q и P.

зад. 3 В равностранен цилиндър с радиус r , точка от окръжността на долната основа е съединена с точка от окръжността на горната основа. Съединителната отсечка образува с равнината на основата ъгъл алфа. Намерете разстоянието между тазки отсечка и оста на цилиндъра.

Май попрекалих със задачите ...

[martin123456]

3) какво е "равностранен" цилиндър
1)2)3) за прав кръгов цилиндър ли става дума?

[martin123456]

2)
нека става дума за прав кръгов цилиндър
образуващата е перпендикулярна на основата, значи ъгълът между сеченията е равен на ъгъл BAC
сеченията са правоъгълници
[tex]S=2\pi rh[/tex]
[tex]AC*h=P[/tex] => [tex]AC=\frac{P}{h}[/tex]
[tex]AB*h=Q[/tex] => [tex]AB=\frac{Q}{h}[/tex]
[tex]cos[/tex] т-ма за [tex]CAB[/tex]=>[tex]CB^2=\frac{P^2+Q^2-PQ}{h^2}[/tex]=>[tex]CB=\frac{\sqrt{P^2+Q^2-PQ}}{h}[/tex]
[tex]sin[/tex] т-ма за [tex]CAB[/tex] => [tex]2R = \frac{2CB}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{P^2+Q^2-PQ}}{h\sqrt{3}}[/tex]
=>[tex]R=\frac{\sqrt{P^2+Q^2-PQ}}{h\sqrt{3}}[/tex]
=>[tex]S=2\pi \frac{\sqrt{P^2+Q^2-PQ}}{\sqrt{3}}[/tex]

1) не си спомням какво е средно пропорционално

[ganka simeonova]

Равностранен цилиндър е този, чието осно сечение е квадрat, т.е. [tex]2R=h[/tex]

[martin123456]

3)
[tex](ABC)[/tex] e всъщност [tex](ABCD)[/tex]. [tex]OO_1||(ABCD)[/tex]. разстоянието меду [tex]OO_1[/tex] и [tex]AC[/tex] = ? Нека [tex]OT \bot AB[/tex]. Всъщност това е търсенето развстояние (вижда се от чертежа).
[tex]\angle CAB = \alpha[/tex]=>[tex]cotg\alpha=\frac{AB}{2r}[/tex]=>[tex]AB=2rcotg\alpha[/tex].
сега от триъгълник [tex]ATO[/tex]: [tex]OT^2=r^2-r^2cotg^2\alpha=r^2(1-cotg^2\alpha)[/tex]=>[tex]OT=r\sqrt{1-cotg^2\alpha}[/tex].

[martin123456]

зад. 1 Радиусът на основата на цилиндър е равен на r, а височината му е h ( h>r ). Прекарана е равнина , успоредна на основите така, че лицето на полученото сечение е средно пропорционално на частите на оклната повърхнина на цилиндъра. Намерете разстоянията на секущата равнина до двете основи.

1)какво е "на частите на оклната повърхнина на цилиндъра"[/tex]

[ganka simeonova]

зад. 1 Радиусът на основата на цилиндър е равен на r, а височината му е h ( h>r ). Прекарана е равнина , успоредна на основите така, че лицето на полученото сечение е средно пропорционално на частите на оклната повърхнина на цилиндъра. Намерете разстоянията на секущата равнина до двете основи.

1)какво е "на частите на оклната повърхнина на цилиндъра"[/tex]

Нека равнината е на разстояние х от горната основа. Тогава ще е на разстояние h-x от долната. така тя ще раздели цилиндъра на два. Сечението е със същия радиус R. Искаме лицето му да е средно прпорционално на околните повърхнини на двата цилиндъра, т.е.
[tex](\pi R^2)^2=2\pi Rx.2\pi R(h-x)[/tex]
Остава да решиш едно квадратно уравнение спрямо х.

[domlika]

Благодаря

Сега остава и да прочета решенията