Пирамида

[domlika]

Основата на пирамида АБСД е триъгълник АБС със страни АБ=4 см, БС=2[tex]\sqrt{3}[/tex]см и взаимно перпендикулярни медиана СМ и ъглополовяща АЛ (М лежи на АБ, а Л на БС). Околните ръбове на пирамидата са равни помежду си. Околната стена АДС сключва с основата на пирамидата ъгъл с големина алфа. Да се намери
1 обемът на пирамидата
2 радиусът на описаната около пирамидата сфера
3 При каква стойност на синус алфа радиусът на сферата е най-малък и да се намери този радиус

Малко дълга се оказа

[ganka simeonova]

Нека пресечната точка на медианата и ъглополовящата означим с Р.
Тогава в [tex]AMC, AP-[/tex] ъглополовяща и височина=>той е равнобедрен=>[tex]AM=AC=2=>\Delta ABC-[/tex] правоъгълен.
Височината на пирамидата се проектира в т.М.
[tex]\Delta DMN=>DM=h=MNtg\alpha =\sqrt{3} tg\alpha[/tex]
[tex]\Delta BMD=>BD^2=l^2=4+3tg^2\alpha[/tex]
Сега за радиусът може да ползваш формулата [tex]R=\frac{l^2}{2h } =\frac{4+3tg^2\alpha }{2\sqrt{3} }[/tex]- важи за всички пирамиди с равни околни ръбове.
Нека положим [tex]tg\alpha =u>0=>R(u)=\frac{4+3u^2}{ 2\sqrt{3}u }[/tex].
Остава да намериш къде досига минимум. Това е за [tex]u=tg\alpha =\frac{2}{\sqrt{3} } =>[/tex] така ще намериш и синуса.

[domlika]

Благодаря. Винаги сте ясна и изчерпателна.