Конус и др.

[volen siderov]

http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=317
Попаднах на тази стара тема и на скъпите на сърцето ми Инфернум и Любо.
Искам да споделя нещо. Да, както казва Инфернум можеш най-сигурно и лесно да намериш обема,лицето на конус и други фигури като завъртиш облразуващата и интегрираш по подходящ начин. Аз обаче искам да дам друг, не толкова железен, но доста оргинален метод -измислен от мен(е надали съм открил топлата вода ).
Нека да търсим да кажем лице на правилен конус.
1 Преполагаме че лицето на конуса е S=f(r,l) функция на радиуса и образуващата.
2. Функцията f е полином(предполагаме естествено). Понеже е лице и от други физични съображения, този полином е от втора степен с коеф. нули пред първите степени и св. членове. S=f(r,l)=P(r.l)=a1*rr + a2*rl +a3*ll
3. За лицето на конуса е очевидно че:
-е равно на 2 пъти лицето на оснавата ако го сплескаме напълно т.е. 2пrr= lim(l=r) f(r,l)=(a1+a2+a3)rr
т.е. a1+a2+a3=2п
-e равно на лицето само на основата ако премахнем околния конус l=0 пrr=lim(l=0) f(r,l)=a1rr
t.e. a1=п
- е равно на 0 ако го свием до централната му ос т.е. ако r=0 0=lim(r=0) f(l,r)=a3ll т.е. а3=0

от трите условия и гранични прехода определяме коеф. a1=п a2=п и a3=0 т.е. лицето е S=f(r,l)=пrr + пrl

Просто и елегантно а? :)
Пояснение: аз не премахвам или добавям части към фигурата. Тя си е се конус само дето го докарвам до три гранични състояния. Тези състояния могат да се разглеждат като правилен кръгов конус също, откъдето следва по-нататък логиката ми.

[volen siderov]

Искам да дам по-добро доказателство на на формулите за обем и лице на конус, като използвам горната идея.
Лице на околна повърхнина на прав пресечен конус
1.Лицето S на околната повърхнина на прес. конус е функция на 3 променливи : радиусите на основите и дължината на образуващата. Защо? Най-просто, защото тези 3 величини определят еднозначно конуса т.е. 2 прес. конуса са еднакви ако имат еднакви [tex]r_{1}, r_{2},l[/tex]
2. Не зная предваритално каква е функцията [tex]S=f(r_{1}, r_{2},l)[/tex] , но да предположим че е полином. Дори не е нужно да се ограничавам както по-горе, полинома да е само от 2-те степени. Нека да е от произволни степени-от 0 до n т.е. [tex]S=f(r_{1}, r_{2},l)=P^{(k)}(r_{1})[/tex]*[tex]P^{(k)}(r_{2})[/tex]*[tex]P^{(k)}(l)[/tex] (1)
3.Нека сега да разгледам 1 частен случай на прав кръгов пресечен конус. Да оставим [tex]r_{1}[/tex] да клони към [tex]r_{2}[/tex]. Този фигура се нарича цилиндър и има лице [tex]S=2\pi[/tex][tex]lr_{1}[/tex] (2)
Полинома (2) обаче е тъждествено равен на полинома (1) за [tex]r_{1}[/tex] клонящо към [tex]r_{2}[/tex] т.е всички коефициенти на полинома (1) са нули с изключение на два.
[tex]S=2\pi[/tex][tex]lr_{1}=a_{1}l[/tex][tex]r_{1}+a_{2}l[/tex][tex]r_{2}=a_{1}l[/tex][tex]r_{1}+a_{2}l[/tex][tex]r_{1}[/tex] (3)
така имаме равенството [tex]2\pi[/tex]=[tex]a_{1}+a_{2}[/tex]
3.За определяне на коефицентите може да служи заменяемостта(симетрията) на формула (3).Тя не трябва да прави разлика при замяна на [tex]r_{1}, r_{2}[/tex] т.е. коеф. трябва да са равни. Друго доказателство за равенството на [tex]a_{1},a_{2}[/tex] е следното:
Търсим лицето на ок. повърхност на прес. конус, като разлика на лицата на големият и малкият конус.
От формула (3) се вижда че лицето на ок. пов. на конус е същият този израз при клонене на [tex]r_{2}[/tex] към нула. т.е.[tex]S_{1}[/tex] =[tex]a_{1}l[/tex][tex]r_{1}[/tex]
Така лицето на прес. конус се явява разликата [tex]S=S_{1}-S_{2}[/tex]=[tex]a_{1}l_{1}[/tex][tex]r_{1}[/tex] - [tex]a_{1}l_{2}[/tex][tex]r_{2}[/tex] където [tex]l=l_{1} - l_{2}[/tex] и освен това от подобността имаме [tex]r_{1}l_{2}=r_{2}l_{1}[/tex]
т.е. [tex]S=a_{1}l_{1}(r_{1} - r_{2}\frac{r_{2}}{r_{1} })=a_{1}\frac{l_{1}}{r_{1} } (r_{1}-r_{2})(r_{1}+r_{2})=a_{1}(l_{1}-l_{2})(r_{1}+r_{2})=a_{1}l(r_{1}+r_{2})[/tex] (4)
След тъждествено приравняване на полиноми (3) и (4) за коефицентите получаваме [tex]a_{1}=a_{1} , a_{2}=a_{1}[/tex] т.е. [tex]a_{1}=a_{2}=\pi[/tex]
така за формулата за лице на околна повърхнина на пресечен конус получаваме [tex]S=\pi l(r_{1}+r_{2})[/tex]

[volen siderov]

Обем на прав пресечен конус
При намиране на формула за обем на прав пресечен конус, предполагаме отново наличието на полином от n-та степен-функция на образуващите на конуса нека този път това да са [tex]r_{1},r_{2},h[/tex]. Отново разглеждаме граничния случай когато пресеченият конус клони към цилиндър. Т.е. ще търсим оргиналната функция [tex]V=f(r_{1},r_{2},h)[/tex] при условие че знаем функцията [tex]g(r_{1},r_{2},h)[/tex]-образ на оргинала при граничен преход(и).
Имаме:
[tex]\pi r_{1}^2h=f(r_{1},r_{2},h)=a_{1}r_{1}^2h+a_{2}r_{2}^2h+a_{3}r_{1}r_{2}h=(a_{1}+a_{2}+a_{3})r_{1}^2h[/tex] (1) поради клоненето на [tex]r_{2}[/tex]към [tex]r_{1}[/tex] и поради тъждеството на полиномите, заради което всички други коефициенти на общият полином са нули. Така (1) ни дава общият вид на формулата за обем на прес. конус както и зависимостта [tex]\pi =a_{1}+a_{2}+a_{3}[/tex]
Освен това (1) се преобразува в израз за лице на цял конус при клонене на [tex]r_{2}[/tex] към нула т.е. [tex]S_{1}=a_{1}r_{1}^2h_{1}[/tex]
Намираме обема на прес. конус като разлика на 2-та подобни конуса с основи [tex]r_{1},r_{2}[/tex](имаме [tex]h=h_{1}-h_{2}[/tex], а от подобието на конусите [tex]r_{1}h_{2}=r_{2}h_{1}[/tex] [tex]a_{1}r_{1}^2h+a_{2}r_{2}^2h+a_{3}r_{1}r_{2}h=S_{1}-S_{2}=a_{1}h_{1}(r_{1}^2-r_{2}^2(\frac{r_{2}}{ r_{1}}))=a_{1}\frac{h_{1}}{r_{1} } (r_{1}^3-r_{2}^3)=a_{1}(h_{1}-h_{2})(r_{1}^2+r_{1}r_{2}+r_{2}^2)=a_{1}h(r_{1}^2+r_{1}r_{2}+r_{2}^2)[/tex] (2)
Тъждественото равенство на двете страни на равенство (2) означава и равенство на коефицентите [tex]a_{1}=a_{2}=a_{3}=\frac{\pi }{3}[/tex] ,което пък идва от (1)
ето как лесно и елегантно намерихме формулата [tex]V=\frac{\pi }{3}h(r_{1}^2+r_{1}r_{2}+r_{2}^2)[/tex]
Използвайки този метод може лесно да се намери лицето на трапец.
Забележка:Забелязвам една съществена слабост. Замяна в горните на височината на конуса с образуващата не променя нищо, което е очевидно грешно. Може би изпускам нещо?

[volen siderov]

Да почти веднага се сетих защо метода греши при подмяна на [tex]l[/tex]с[tex]h[/tex]. Това е защото по предположение обема и лицето са полиномни функции. Размяната на [tex]l[/tex]с[tex]h[/tex] обаче докарва формулата до вид различен от полином.Имаме корен т.е. ирационална функция. Така че предварително трябва да използваме тези размери на конуса, които докарват формулата до полином. :):) Забавно а Като подарък за коледа дет си си го видял ама се прайш на ударен като ти го подари мама :)

[volen siderov]

Нека да видим сега дали мога да намеря лице на околна повърхнина на наклонен пресечен конус.

Лице на околна повърхнина на наклонен пресечен конус

Тази фигура е определена от 4 параметъра: радиусите на 2-те успоредни основи, дължините на максималния и минималния околен ръб(образуваща). Тези величини еднозначно определят наклонения конус и образуват центр. сечение-неравнобедрен трапец. Така последователно:
1. Преполагаме наличието на полинома [tex]S=f(r_{1},r_{2},l_{1},l_{2})=P^{(k)}(r_{1})*P^{(k)}(r_{2})*P^{(k)}(l_{1})*P^{(k)}(l_{2})[/tex] от произволна степен[tex]n=4k[/tex], на който в общоят случай е равно лицето на околната повърхнина
2. При клонене на [tex]r_{2} = r_{1}[/tex] , съответно [tex]l_{2} = l_{1}[/tex], самият наклонен пресечен конус става наклонен цилиндър с лице на ок. повърхност [tex]S=2\pi r_{1}l_{1}[/tex].
Имаме тъждеството [tex]S=2\pi r_{1}l_{1}\equiv a_{1}r_{1}l_{1}+a_{2}r_{1}l_{2}+a_{3}r_{2}l_{1}+a_{4}r_{2}l_{2}= (a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4})r_{1}l_{1}[/tex] където останалите коефиценти на полинома [tex]S=P(r_{1},r_{2},l_{1},l_{2})=a_{1}r_{1}l_{1}+a_{2}r_{1}l_{2}+a_{3}r_{2}l_{1}+a_{4}r_{2}l_{2}[/tex] -формула (1) са тъждествено равни на нула. Така за коефицентите имаме [tex]2\pi =a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}[/tex]
3.При клонене на [tex]l_{1}=l_{2}[/tex] и [tex]r_{1}\ne r_{2}[/tex] наклоненият пресечен конус става прав пресечен конус и имаме тъждеството [tex]S=\pi l_{1}(r_{1}+r_{2})\equiv (a_{1}+a_{2})r_{1}l_{1}+(a_{3}+a_{4})r_{2}l_{1}[/tex] т.е. [tex]\pi =a_{1}+a_{2}[/tex] и [tex]\pi =a_{3}+a_{4}[/tex]
4.И накрая ще изразя лицето на околната повърхност на наклонения пресечен конус като разлика от лицата на ок. повърхнини на двата наклонени цели конуси(както в горният пример). Имайки предвид че:
-радиусите и дължините на целите конуси са в отношение [tex]\frac{r_{1}}{ r_{2}}=\frac{L_{1}}{ L^{*}_{1}}=\frac{L_{2}}{ L^{*}_{2}}[/tex] като [tex]l_{1}=L_{1}-L^{*}_{1}[/tex] и [tex]l_{2}=L_{2}-L^{*}_{2}[/tex]
-лицето на околната повърхност на наклонен цял конус е частен случай на формула (1) при [tex]r_{2}=0[/tex] т.е. [tex]S_{1}=a_{1}r_{1}L_{1} + a_{2}r_{1}L_{2}[/tex]

съответно за разликата им имаме [tex]S=S_{1}-S_{2}=a_{1}r_{1}L_{1}+a_{2}r_{1}L_{2}-a_{1}r_{2}L^{*}_{1} - a_{2}r_{2}L^{*}_{2}=a_{1}(r_{1}L_{1}-r_{2}L^{*}_{1}) + a_{2}(r_{1}L_{2}-r_{2}L^{*}_{2})=a_{1}(r_{1}L_{1}-r_{2}L_{1}\frac{r_{2}}{r_{1}} )+a_{2}(r_{1}L_{2}-r_{2}L_{2}\frac{r_{2}}{r_{1} })=[/tex]
[tex]=a_{1}\frac{L_{1}}{r_{1} }(r^{2}_{1}-r^{2}_{2})+a_{2}\frac{L_{2}}{r_{1} }(r^{2}_{1}-r^{2}_{2})=a_{1}(r_{1}+r_{2})(r_{1}\frac{L_{1}}{ r_{1}}-r_{2}\frac{L_{1}}{r_{1} })+a_{2}(r_{1}+r_{2})(r_{1}\frac{L_{2}}{ r_{1}}-r_{2}\frac{L_{2}}{ r_{1}})=a_{1}(r_{1}+r_{2})(L_{1}-L^{*}_{1})+a_{2}(r_{1}+r_{2})(L_{2}-L^{*}_{2})=[/tex]
[tex]=a_{1}r_{1}l_{1}+a_{2}r_{1}l_{2}+a_{1}r_{2}l_{1}+a_{2}r_{2}l_{2}[/tex] формула (2)
от тъждеството на (1) и (2) имаме:
[tex]S=a_{1}r_{1}l_{1}+a_{2}r_{1}l_{2}+a_{3}r_{2}l_{1}+a_{4}r_{2}l_{2}\equiv a_{1}r_{1}l_{1}+a_{2}r_{1}l_{2}+a_{1}r_{2}l_{1}+a_{2}r_{2}l_{2}[/tex]
така за коефицентите получаваме [tex]a_{1}=a_{1};a_{2}=a_{2};a_{3}=a_{1};a_{4}=a_{2}[/tex] и освен това от по-горе [tex]a_{1}+a_{2}=\pi[/tex] формули (3)
Тъй като това не е достатъчно за определяне на коефицентите разглеждам случая, когато височината на наклоненият пресечен конус става равна на нула и той се изражда в външен кръг(голямата основа) и вътрешен кръг(малката основа). Нека ъглите при основата на конуса да са ≤ 90° за да може горната основа да се проектира изцяло в долната. Сега лицето на околната повърхнина е разлика от лицата на 2-те основи, диаметъра на голямата е точно равен на диаметъра на малката плюс дължините на 2-та околни ръба, и освен това това си е пак наклонен пресечен конус макар и изроден(РАВНИНЕН) частен случай:
[tex]2r_{1}=2r_{2}+l_{1}+l_{2}[/tex]
[tex]S=\pi (r_{1}-r_{2})(r_{1}+r_{2})\equiv a_{1}r_{1}l_{1}+a_{2}r_{1}l_{2}+a_{3}r_{2}l_{1}+a_{4}r_{2}l_{2}[/tex]
отчитайки по-горните равенства (3)можем да запишем:
[tex]\pi (r_{1}-r_{2})(r_{1}+r_{2})\equiv a_{1}l_{1}(r_{1}+r_{2}) + a_{2}l_{2}(r_{1}+r_{2})=(r_{1}+r_{2})(a_{1}l_{1}+a_{2}l_{2})[/tex]
за [tex]r_{1}+r_{2}\ne 0[/tex] тъждеството е:
[tex]\pi (r_{1}-r_{2})=\pi (\frac{l_{1}+l_{2}}{2 }) \equiv a_{1}l_{1}+a_{2}l_{2}[/tex]
или окончателно получавам следното [tex]a_{1}=a_{2}=a_{3}=a_{4}=\frac{\pi }{2 }[/tex]
така окончателно получавам за лице на околна повърхност на наклонен пресечен конус:
[tex]S=P^{(2)}(r_{1},r_{2},l_{1},l_{2})=\frac{\pi }{2 }(r_{1}+r_{2})(l_{1}+l_{2})[/tex]


Коментар: Аз не съм срещал в нета да има ф-ла за лице на наклонен цилиндър(може и да не съм търсил както трябва). Ако предположението за съществъването на полинома е вярно, то и формулата е вярна. От тази формула се вижда че лицето на ок. повърхност на прав прес. конус е частен случай на моята формула при [tex]l_{1}=l_{2}=l[/tex] тоест общата формула взима средноаритметичното от 2-та противоположни ок. ръба. Нещо повече, аз приех че [tex]l_{1};l_{2}[/tex] са максималният и минималният ок. ръб-страни на трапеца при това сечение. Логиката на разсъжденията и подобието на триъгълниците при всяко сечение показва че [tex]l_{1};l_{2}[/tex] могат да бъдат всеки 2 противоположни ръба като при това тяхното средно аритметично е константа.

[volen siderov]

Хайеде де? Никой ли няма да кометира? Съгласни несъгласни с теоремата
Ето тогава нещо лесничко.
Лице на елипса:
[tex]S=P(a,b) ; lim_{a=b}P(a,b)=a_{1}a*a + a_{2}b*b+a_{3}*ab=(a_{1}+a_{2}+a_{3})a=S_{circle}=\pi a^{2}[/tex]
т.е. [tex]\pi =a_{1}+a_{2}+a_{3}[/tex]
от [tex]0=S=lim_{a=0}P(a,b)=lim_{b=0}P(a,b)=a_{1}a*a=a_{2}b*b[/tex]
т.е. [tex]a_{1}=a_{2}=0[/tex]
окончателно: [tex]\pi =a_{3}[/tex]
[tex]S_{elipse}=P(a,b)=a_{3}ab=\pi ab[/tex]

[ptj]

Опитваш се да откриеш топлата вода.
С тройни интеграли можещ да смятат обем заключен между произволни повърности.

[volen siderov]

А за повърхности как стои въпроса? Би ли написал надве натри формула и доказателство за лице на ок. повърхнина на наклонен конус? Има ли тази геометр. фигура площ и на колко е равна съм любопитен да разбера. Или дай линк.

[pipi langstrump]

А за повърхности как стои въпроса? Би ли написал надве натри формула и доказателство за лице на ок. повърхнина на наклонен конус? Има ли тази геометр. фигура площ и на колко е равна съм любопитен да разбера. Или дай линк.

На това ли се вика наклонен конус?

[volen siderov]

Да поне що се отнася до мен.

[volen siderov]

Продължавам да не откривам в нета формула за лице на наклонене конус. Нещо повече. Откривам че пище че е нерешима задача от гледна точка на традиционното интегриране-включва елиптични интеграли. Ето:
http://mathforum.org/library/drmath/view/55017.html
Ето и линка където е дадено приближеното решение
http://www.tyharness.co.uk/obliqueconea ... nearea.htm предложено от някой си Cantrell и включващо 3 елиптични интеграла.
Според неговата формула наклонен конус с радиус r=2, височина h=3 и параметър d=1(това доколкото виждам от чертежа е разтоянието от проекцията на върха в/у основата, до центъра на основата) е равен на S=22,958
Според моята формула след намиране на 2-те срещуположни ръба на конуса :
[tex]l_{1}=\sqrt{9+1}[/tex] и [tex]l_{2}=\sqrt{9+9}[/tex] получавам:
[tex]S=\frac{\pi }{2 }(l_{1}+l_{2})(r_{1}+0)=[/tex]23.27

[ptj]

http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=317
Попаднах на тази стара тема и на скъпите на сърцето ми Инфернум и Любо.
Искам да споделя нещо. Да, както казва Инфернум можеш най-сигурно и лесно да намериш обема,лицето на конус и други фигури като завъртиш облразуващата и интегрираш по подходящ начин. Аз обаче искам да дам друг, не толкова железен, но доста оргинален метод -измислен от мен(е надали съм открил топлата вода ).
Нека да търсим да кажем лице на правилен конус.
1 Преполагаме че лицето на конуса е S=f(r,l) функция на радиуса и образуващата.
2. Функцията f е полином(предполагаме естествено). Понеже е лице и от други физични съображения, този полином е от втора степен с коеф. нули пред първите степени и св. членове. S=f(r,l)=P(r.l)=a1*rr + a2*rl +a3*ll
3. За лицето на конуса е очевидно че:
-е равно на 2 пъти лицето на оснавата ако го сплескаме напълно т.е. 2пrr= lim(l=r) f(r,l)=(a1+a2+a3)rr
т.е. a1+a2+a3=2п
-e равно на лицето само на основата ако премахнем околния конус l=0 пrr=lim(l=0) f(r,l)=a1rr
t.e. a1=п
- е равно на 0 ако го свием до централната му ос т.е. ако r=0 0=lim(r=0) f(l,r)=a3ll т.е. а3=0

от трите условия и гранични прехода определяме коеф. a1=п a2=п и a3=0 т.е. лицето е S=f(r,l)=пrr + пrl

Просто и елегантно а? :)
Пояснение: аз не премахвам или добавям части към фигурата. Тя си е се конус само дето го докарвам до три гранични състояния. Тези състояния могат да се разглеждат като правилен кръгов конус също, откъдето следва по-нататък логиката ми.

Обоснови се малко по-добре по точка 2. От къде следва, че лицето е измерима функция и се изразява с полином от втора степен?
Ако ми го ограничиш отгоре и отдолу със сходящи редици с еднаква граница мога да се съглася, иначе всички по-нататъшни твои резглеждания са безмислени.

[volen siderov]

2. Не зная предваритално каква е функцията [tex]S=f(r_{1}, r_{2},l)[/tex] , но да предположим че е полином. Дори не е нужно да се ограничавам както по-горе, полинома да е само от 2-те степени. Нека да е от произволни степени-от 0 до n т.е. [tex]S=f(r_{1}, r_{2},l)=P^{(k)}(r_{1})[/tex]*[tex]P^{(k)}(r_{2})[/tex]*[tex]P^{(k)}(l)[/tex] (1)

[volen siderov]

Лицето на ок. повърхност на конуса е:
1. Еднозначна функция на подходящо избрани геометрични параметри-тези параметри които са необходими и достатъчни да дефинират конуса. За наклонен прес. конус това са радиусът на основата, и координатите на върха на конуса(в корд. с-ма с начало центъра на окръжността), т.е. свързаните с тях срещуположни околни ръбове.
2.Съществуването(1) и еднозначността(2) на тази функция е очевидно. Противното означава, че два еднакви, съществуващи в пространството конуса не биха имали въобще стойност на лицето(1) и два еднакви конуса биха имали различно лице(2). Тази логика важи и за всяка съществуваща в тримерното пространство фигура или крива. Например как ще дефинираш дължина на права? Покажи че те е обща граница граница на сходящи растящи и намаляващи редици? Обоснови каква по вид функция и на кои параметри е тя?
3.Въпросната неизвестна функция е тъждествено равна на даден полином в разглежданите от мен (гранични) случаи. И така знаейки тези гранични функции-полиноми какво можем да кажем за оригинала? Може да има а може и да няма краен или безкраен набор от оригинали които клонят към полиноми в този случай. Аз съм избрал най простият полином който съвпада на дадените условия.
4.Защо полинома е от 1-ва , 2-ра или 3-та степен е определено в конкретните случаи според степента на тъждествените гранични полиноми

[ptj]

Явно си останал на ниво математика от 8-ми клас и изобщо не разбираш зададения въпрос. Аз приключвам участието си в темата.

[Гост]

Аз искам да попитам има ли формула за обем на наклонен пресечен конус? Понеже ни възникна спор

[Гост]

С линейна смяна на координатната система наклонения елиптичен конус става обикновен елиптичен конус, и тогава човек може да види, че формулата за обема остава същата: пabh/3. Формулaта за околната повърхнина за наклонен кръгов конус остава същата, както за прав кръгов конус, понеже величината [tex]\int_D\sqrt{EG-F^2}dudv[/tex], която дава лицето на част от еднолистна гладка повърхнина [tex]s:D\to \mathbb{R}^3[/tex] не зависи от координатната система.