Принцип на Кавалиери

[Aneliya]

Трябва да реша следните задачи с принципа на Кавалиери. Ще съм благодарна на малко напътствия

1. Даден е куб ABCD[tex]A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}[/tex] с ръб а. Точките M и N делят диагонала АС на три равни части, а точките Р и Q делят диагонала B[tex]D_{1}[/tex] също на три равни части. Намерете обема на тетраедъра MNPQ.

2. Дадена е правилна четириъгълна пирамида АВСDQ с връх Q и обем V. Точките М и N са средите на ръбовете AQ и DQ. Намерете обема на пирамидата ADMNB.

3. Дадена е правилна четириъгълна пирамирада АВСDQ с връх Q и обем V. Точките М и N са средите на ръбовете AQ и DQ. Намерете обема на тялото ABCDMN.

4. Докажете, че обемът V на призма Р с дължина на околния ръб m и лице S' на сечението на призмата с равнина, перпендикулярна на околен ръб, пресичаща всички околни ръбове, се пресмята по формулата V = S'.m

5. Намерете обема на правилен октаедър с ръб 1.
6. Намерете обема на правилен додекаедър с ръб 1.
7. Намерете обема на правилен икосаедър с ръб 1.

[inveidar]

Дете мое, тези задачи са от урока за принцип на Кавалиери, но се решават без принципа на Кавалиери! В учебника е даден принципа за да се извеждат с него след това формулите за обем на цилиндър, конус и т.н. Тези задачи ги приеми като преговор на обем на призма, пирамида и използване на свойствата на обем на тяло. Не вярвай много много на учебника на Анубис. Пълна боза е!

[ptj]

1.)
[tex]S_{ABC}=\frac{a^2}{2 }[/tex]

[tex]S_{MNB}=\frac{1}{3 } S_{ABC}= \frac{a^2}{6 }[/tex]

[tex]V_{MBND_1}=\frac{1}{3 }a.S_{MNB}=\frac{a^3}{18 }[/tex]

[tex]V_{MBNQ}=\frac{2}{3 }V_{MBND_1}[/tex]

[tex]V_{MBNP}=\frac{1}{3 }V_{MBND_1}[/tex]

От последните два реда => [tex]V_{MNPQ}=V_{MBNQ}-V_{MBNP}=\frac{1}{3 }V_{MBND_1}=\frac{a^3}{54 }[/tex]