1,2,3 задачата

[Гост]

Даден е квадрат АВСD.Точка О вътрешна за него е такава,че АО=1,ВО=2 и СО=3.Да се намери \angle АОВ. Ще се радвам да видя доказателство и без тригонометрия...

[Xixibg]

[tex]135^\circ[/tex]
За съжаление без тригонометрия не ми идва на ум нищо
Но продължавам да пробвам.

[inveidar]

sn1.png (15.02 KiB) Прегледано 577 пъти

Лесно се получават следните равенства [tex]x^{2}+y^{2}=1[/tex]
[tex](a-x)^{2}+y^{2}=4[/tex]
[tex](a-x)^{2}+(a-y)^{2}=9[/tex]
От тях, с разкриване на скобите, заместване на [tex]x^{2}+y^{2}=1[/tex] във второто и третото, изразяване на хикса и игрека чрез а и връщане в първото уравнение, получаваме [tex]a^{2}=5+2\sqrt{2}[/tex].
Понеже искаш без тригонометрия, ще направим следното нещо. Разглеждаме триъгълник със страни а, 1 и 2 и ъгъл срещу страната с дължина а - [tex]135^{0}[/tex].

sn2.png (27.56 KiB) Прегледано 577 пъти

Сега от Питагоровата теорема за триъгълника АВН получаваме [tex]a^{2}=(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2}+1)^{2}=5+2\sqrt{2}[/tex].
Тогава триъгълниците АВО и АВН от двата чертежа стават еднакви по три страни и, следователно, търсеният ъгъл е [tex]135^{0}[/tex].
Но как може да се сети човек без тригонометрия, че този ъгъл е [tex]135^{0}[/tex]? Ами просто като знае, че обикновено в такива задачи ъгълът е или 30, или 60, или 90, или 45, или 120, или 135 градуса и като се ориентира горе долу по чертежа! Кандидати са 120 и 135 градуса. Пробва с единия и другия и готово.

[inveidar]

Да допълня и, че е добре, когато се учи питагоровата теорема и преди да се вземе косинусовата, да се решат задачките: Да се пресметне третата страна на триъгълник на който са дадени две от страните(не е зле да са конкретни числа!), а ъгълът, заключен между тях, е съответно 30, 45, 60, 120, или 135 градуса. Полезно е не само за предишната задача.
Като съм почнал да давам съвети, да взема да кажа и че когато се учи Питагоровата теорема, не е зле да се зададе въпросът дали няма подобна зависимост между квадратите на страните на произволен триъгълник и да се каже, че наистина има по-обща теорема, от която Питагоровата е само частен случай, но тя ще е с някаква добавка към нея и ще се изучава по-късно. Така учениците биха могли да осмислят пребиваването си в училище поне малко от малко.(Последното е шегичка!)

[Гост]

Благодаря за решението,надявам се да видя и други!Моето решение(ако може да се нарече решение)изисква решаване на уравнението:(√4-x^2)+(√9-x^2)=x+(√x^2-3).Под корените са всичките неща в скобите(съжалявам,но не съм се научил да използвам добре знаците).Ако някой има идея за решаването на това да публикува.
*Последно да отбележа,че задачата е една от по-лесните от "Черноризец Храбър",тема 9ти-10ти клас.Затова предизвика интерес у мен,понеже според мен не е така проста.(все пак за решението на задача на състезанието се полагат само 3 минути)