синусова и косинусова теорема

[Гост]

Някой може ли да ми помогне със следната задача:
В ▲ABC със страни BC=a, AC=b и AB=c медианианите AA1(A1 принадлежи на BC) и BB1(B1принадлежи на AC) се пресичат в точка M. Докажете, че 2c^2= a^2 +b^2, ako точките M, A1, C и B1 лежат на една окръжност.

[s.karakoleva]

От [tex]MA_1CB_1[/tex] - вписан, следва, че [tex]\angle A_1MB_1=180^\circ-\gamma\Rightarrow \angle AMB_1=\gamma[/tex].

[tex]\triangle AMB_1\sim \triangle ACA_1\Rightarrow \frac{AM}{AC}=\frac{AB_1}{AA_1}\Leftrightarrow \frac{\frac23 m_a}{b}=\frac{\frac12 b}{m_a}\Leftrightarrow \frac23 m_a^2=\frac12 b^2\Rightarrow 4m_a^2=3b^2[/tex]

От формулата за медианата [tex]4m_a^2=2b^2+2c^2-a^2[/tex] и от полученото от подобието на триъгълниците [tex]4m_a^2=3b^2[/tex] се получава това, което трябва да се докаже:

[tex]3b^2=2b^2+2c^2-a^2\Leftrightarrow b^2+a^2=2c^2.[/tex]

[s.karakoleva]

А тъй като задачата беше дадена със заглавие "Синусова и косинусова теорема", ето и подробно как се прилага Косинусовата теорема за формулата за медианата, която горе използвах наготово:

[tex]\triangle AA_1C\Rightarrow m_a^2=b^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2-2\cdot b\cdot \frac{a}{2}\cos\gamma \qquad [1][/tex]

[tex]\triangle ABC\Rightarrow c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\Rightarrow ab\cos\gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2} \qquad [2][/tex]

От [1] и [2] [tex]\Rightarrow m_a^2=b^2+\frac{a^2}{4}-\frac{a^2+b^2-c^2}{2}[/tex]

[tex]\Rightarrow m_a^2=\frac14\left(2b^2+2c^2-a^2\right).[/tex]

[Гост]

Много благодаря