Косинусова теорема - задача

[Гост]

Добър ден,

Може ли да ми помогнете малко че стигнах до никъде

Задачката ми е - Триъгълник ABC..

а=3
b=6
α=30^\circ
c= ?

Ако може да напишете едно подробно решение защото краен отговор само не ми върши работа.. опитвам се да забера начините за решение и ми трябва стъпка по стъпка

Мерси

[Zor]

Аз съм...

Видях че не мога да си редактирам нението като гост и се регнах...

Та ъгъл Алфа е равен на 30 градуса ! че нещо не ми се получи с кодовете...

[cvetelina910415]

Здравейте! Аз съм студентка 3-ти курс по физика и математика,и сега дойде нашият ред ние да изнасяме уроци.Може би притеснението ми е малко в повече и не знам как да започна урока си, а той е за Косинусова теорема.Бих ви била много благодарна ако някой ми подскаже малко

Благодаря ви предварително!

[ganka simeonova]

Здравейте! Аз съм студентка 3-ти курс по физика и математика,и сега дойде нашият ред ние да изнасяме уроци.Може би притеснението ми е малко в повече и не знам как да започна урока си, а той е за Косинусова теорема.Бих ви била много благодарна ако някой ми подскаже малко

Благодаря ви предварително!

Довечера ще ти пиша на лс и ще ти помогна

[Xixibg]

triangle1.PNG (6.36 KiB) Прегледано 1322 пъти

Нека е даден правоъгълен [tex]\triangle ABC , \angle ACB=90^\circ[/tex] с катети [tex]BC=a , AC=b[/tex] и хипотенуза [tex]AB=c[/tex].

Построяваме височината [tex]CH[/tex] към хипотенузата [tex]H\in AB[/tex].Нека [tex]AH=a_1 ; BH=b_1; =>a_1+b_1=c[/tex]

1.Разглеждаме [tex]\triangle ABC[/tex].Нека [tex]\angle BAC=\alpha ; =>\angle ABC=180^\circ -90^\circ -\alpha =90^\circ -\alpha[/tex]

2.Разглеждаме [tex]\triangle AHC ; \angle CAH=\alpha ; \angle AHC=90^\circ; =>\angle ACH=180^\circ -90^\circ -\alpha =90^\circ -\alpha[/tex]

3.Разглеждаме [tex]\triangle BHC ; \angle CBH=90^\circ -\alpha ; \angle BHC=90^\circ; =>\angle BCH=180^\circ -90^\circ -90^\circ +\alpha =\alpha[/tex]

От 1. и 2. следва , че [tex]\triangle ABC \approx \triangle ACH ; =>\frac{b}{c}=\frac{b_1}{b} ; =>b^2=b_1.c[/tex]

От 1. и 3. следва , че [tex]\triangle ABC \approx \triangle CBH ; =>\frac{a}{c}=\frac{a_1}{a} ; =>a^2=a_1.c[/tex]

Събираме почленно получените горе 2 равенства и получаваме:[tex]a^2+b^2=a_1.c+b_1.c=(a_1+b_1)c=c^2[/tex]

Това равенство [tex]a^2+b^2=c^2[/tex] е известно като теорема на Питагор и в последствие ще го използваме без доказателство.


Продължаваме нататък.
Нека е даден [tex]\triangle ABC[/tex] със страни [tex]BC=a , AC=b ,AB=c[/tex].Построяваме височината [tex]BH=h ; H\in AC[/tex] и нека отсечката [tex]AH=p ; =>[/tex] отсечката [tex]CH=b-p[/tex].

4.За [tex]\triangle AHB[/tex] прилагаме доказаната горе Питагорова теорема:[tex]h^2+p^2=c^2 ; =>h^2=c^2-p^2[/tex]

5.За [tex]\triangle BHC[/tex] прилагаме доказаната горе Питагорова теорема:[tex]h^2+(b-p)^2=a^2 ; =>h^2=a^2-(b-p)^2[/tex]

6.За [tex]\triangle BHC[/tex] разглеждаме тригонометричната зависимост:[tex]cos{\angle ACB}=\frac{CH}{BC}=\frac{b-p}{a}; =>b-p=a.cos{\angle ACB}[/tex]

От 4. и 5. следва [tex]h^2=c^2-p^2=a^2-(b-p)^2[/tex]
[tex]=>c^2=a^2+p^2-b^2+2bp+p^2=a^2+b^2-2b^2+2bp=a^2+b^2-2b(b-p)[/tex]
Сега заместваме с получената в 6. стойност за [tex]b-p[/tex]
[tex]=>c^2=a^2+b^2-2b(b-p)=a^2+b^2-2ba.cos{\angle ACB}[/tex]

По аналогичен начин може да докажем и тъждествата [tex]a^2=b^2+c^2-2bc.cos {\angle BAC} ; b^2=a^2+c^2-2ac.cos{\angle ABC}[/tex]


Полученитe изрази [tex]\begin{tabular}{|l}c^2=a^2+b^2-2ba.cos{\angle ACB}\\a^2=b^2+c^2-2bc.cos {\angle BAC}\\b^2=a^2+c^2-2ac.cos{\angle ABC} \end{tabular}[/tex] са известни като Косинусова теорема и ще използваме за напред в математиката без да ги доказваме.

[inveidar]

Аз бих започнал така:
Ученици, всеки от вас би трябвало да си спомня за теоремата на Питагор, нали? Кой ще ни припомни как точно гласи тя? ... След като някой изкаже теоремата, обръщаме внимание още веднъж, че тя се отнася за правоъгълни триъгълници. А как мислите, дали съществува подобна теорема и за произволен триъгълник? Такава, която ни дава зависимост между трите страни на триъгълника? Оказва се, че да! И колкото и да е неприятно за Питагоровата теорема, то тя се явява частен случай от една по-обща такава. Този час ще се запознаем именно с нея - нейно Величество Косинусовата теорема!!!
Може да потеатралничиш още малко, но гледай да не преиграеш! След това чертаеш един остроъгълен триъгълник и въвеждаш стандартните означения за върхове, страни и ъгли. Тъй като все пак стана въпрос, че Питагоровата е частен случай от новата теорема, то бихме могли да я повикаме на помощ. Как да получим правоъгълни триъгълници? Ами като спуснем височината от С към АВ. Тя разделя АВС на два правоъгълни триъгълника. Изразяваш височината чрез Питагоровата теорема по два начина от двата триъгълника(правоъгълните) а именно
[tex]h_{c}^{2}=b^2-b_{1}^{2}[/tex] и [tex]h_{c}^{2}=a^2-a_{1}^{2}[/tex]. [tex]a_{1}[/tex] и [tex]b_{1}[/tex] са проекциите на ВС и АС върху страната АВ. Приравняваш ги и получаваш [tex]b^2-b_{1}^{2}=a^2-a_{1}^{2}[/tex], т.е
[tex]b^2=a^2+b_{1}^{2}-a_{1}^{2}[/tex]. Сега остава да използваш, че [tex]b_{1}=c-a_{1}[/tex] и да заместиш в предишното равенство. Ако работиш вярно, ще стигнеш до [tex]b^{2}=a^{2}+c^{2}-2a_{1}c[/tex]. Остана ти да използваш, че [tex]\frac{a_{1}}{a }=cos \beta[/tex], т.е [tex]a_{1}=a.cos \beta[/tex] и си готова! Казваш, че за другите страни се получават аналогични равенства и ги написваш. Уведомяваш учениците, че когато петата на височината е външна точка за странат, то доказателството е маааалко по-различно и им го оставяш за домашно.
Не се притеснявай, ако в учебника е друго доказателството. Още по-добре за теб. Казваш им - който иска може да прочете и доказателството в учебника. Така учениците ще те уважават повече. Стига да даваш верни доказателства де!

[inveidar]

triangle1.PNG

Нека е даден правоъгълен [tex]\triangle ABC , \angle ACB=90^\circ[/tex] с катети [tex]BC=a , AC=b[/tex] и хипотенуза [tex]AB=c[/tex].

Построяваме височината [tex]CH[/tex] към хипотенузата [tex]H\in AB[/tex].Нека [tex]AH=a_1 ; BH=b_1; =>a_1+b_1=c[/tex]

1.Разглеждаме [tex]\triangle ABC[/tex].Нека [tex]\angle BAC=\alpha ; =>\angle ABC=180^\circ -90^\circ -\alpha =90^\circ -\alpha[/tex]

2.Разглеждаме [tex]\triangle AHC ; \angle CAH=\alpha ; \angle AHC=90^\circ; =>\angle ACH=180^\circ -90^\circ -\alpha =90^\circ -\alpha[/tex]

3.Разглеждаме [tex]\triangle BHC ; \angle CBH=90^\circ -\alpha ; \angle BHC=90^\circ; =>\angle BCH=180^\circ -90^\circ -90^\circ +\alpha =\alpha[/tex]

От 1. и 2. следва , че [tex]\triangle ABC \approx \triangle ACH ; =>\frac{b}{c}=\frac{b_1}{b} ; =>b^2=b_1.c[/tex]

От 1. и 3. следва , че [tex]\triangle ABC \approx \triangle CBH ; =>\frac{a}{c}=\frac{a_1}{a} ; =>a^2=a_1.c[/tex]

Събираме почленно получените горе 2 равенства и получаваме:[tex]a^2+b^2=a_1.c+b_1.c=(a_1+b_1)c=c^2[/tex]

Това равенство [tex]a^2+b^2=c^2[/tex] е известно като теорема на Питагор и в последствие ще го използваме без доказателство.


Продължаваме нататък.
Нека е даден [tex]\triangle ABC[/tex] със страни [tex]BC=a , AC=b ,AB=c[/tex].Построяваме височината [tex]BH=h ; H\in AC[/tex] и нека отсечката [tex]AH=p ; =>[/tex] отсечката [tex]CH=b-p[/tex].

4.За [tex]\triangle AHB[/tex] прилагаме доказаната горе Питагорова теорема:[tex]h^2+p^2=c^2 ; =>h^2=c^2-p^2[/tex]

5.За [tex]\triangle BHC[/tex] прилагаме доказаната горе Питагорова теорема:[tex]h^2+(b-p)^2=a^2 ; =>h^2=a^2-(b-p)^2[/tex]

6.За [tex]\triangle BHC[/tex] разглеждаме тригонометричната зависимост:[tex]cos{\angle ACB}=\frac{CH}{BC}=\frac{b-p}{a}; =>b-p=a.cos{\angle ACB}[/tex]

От 4. и 5. следва [tex]h^2=c^2-p^2=a^2-(b-p)^2[/tex]
[tex]=>c^2=a^2+p^2-b^2+2bp+p^2=a^2+b^2-2b^2+2bp=a^2+b^2-2b(b-p)[/tex]
Сега заместваме с получената в 6. стойност за [tex]b-p[/tex]
[tex]=>c^2=a^2+b^2-2b(b-p)=a^2+b^2-2ba.cos{\angle ACB}[/tex]

По аналогичен начин може да докажем и тъждествата [tex]a^2=b^2+c^2-2bc.cos {\angle BAC} ; b^2=a^2+c^2-2ac.cos{\angle ABC}[/tex]


Полученитe изрази [tex]\begin{tabular}{|l}c^2=a^2+b^2-2ba.cos{\angle ACB}\\a^2=b^2+c^2-2bc.cos {\angle BAC}\\b^2=a^2+c^2-2ac.cos{\angle ABC} \end{tabular}[/tex] са известни като Косинусова теорема и ще използваме за напред в математиката без да ги доказваме.

Приятелю, ти нали не мислиш, че Питагоровата и Косинусовата теорема се предават заедно?

[Xixibg]

О да,
Питагорова теорема се учи в края на 9-ти клас , а косинусова в 10 -ти.В Англия да речем учат Питагоровата теорема още в 7-ми клас.Даже мисля ,че е достатъчно проста като материал и би я разбрал всеки 6-то класник.

А на въпроса за Косинусова теорема аз бих започнал така:
Ученици :
Изразите[tex]\begin{tabular}{|l}a^2=b^2+c^2-2bc.cos\alpha\\b^2=a^2+c^2-2ac.cos \beta \\c^2=a^2+b^2-2ab.cos \gamma \end{tabular}[/tex] -се наричат Косинусова теорема
Пишете задача:Даден е триъгълник АВС със страни АС=8 ; ВС=3 и ъгъл АСВ=[tex]60^\circ[/tex].Да се намери АВ=?

Възможно е някой да попита "А защо?" или пък "Как се доказва?"(В което много се съмнявам).Но ако все пак попита то отговаряш:
"Не ти трябва да знаеш как се доказва.Достатъчно е да може да я използваш.Ще ти трябва да знаеш как се доказва ако си решил да ставаш "даскал".Ти нали не искаш да ставаш "даскал"?........
един метод от мен специално за Емо Стоянов
И мога да се обзаложа ,че постъпвайки по този начин повече хора от класа ще знаят в края на годината що е то "Косинусова теорема" и как се прилага ,просто защото няма да са натоварени с някакви си хубави или не чак толкова хубави доказателства.

Това разбира се не съветвам да го прилагате ако от него зависи дипломирането като учител......

[ganka simeonova]

Хихи, съгласна съм, че не всичко се доказва, но има неща, които се доказват. Все пак не падат от небето. И е естествено ученикът да знае откъде идват. Не ми се сърди, но никога не бих започнала урока като теб

[Гост]

Бих прочел нещо за Ал Хаши (Al Khashi). Тази теорема е май негова!

[inveidar]

О да,
Питагорова теорема се учи в края на 9-ти клас , а косинусова в 10 -ти.В Англия да речем учат Питагоровата теорема още в 7-ми клас.Даже мисля ,че е достатъчно проста като материал и би я разбрал всеки 6-то класник.

А на въпроса за Косинусова теорема аз бих започнал така:
Ученици :
Изразите[tex]\begin{tabular}{|l}a^2=b^2+c^2-2bc.cos\alpha\\b^2=a^2+c^2-2ac.cos \beta \\c^2=a^2+b^2-2ab.cos \gamma \end{tabular}[/tex] -се наричат Косинусова теорема
Пишете задача:Даден е триъгълник АВС със страни АС=8 ; ВС=3 и ъгъл АСВ=[tex]60^\circ[/tex].Да се намери АВ=?

Възможно е някой да попита "А защо?" или пък "Как се доказва?"(В което много се съмнявам).Но ако все пак попита то отговаряш:
"Не ти трябва да знаеш как се доказва.Достатъчно е да може да я използваш.Ще ти трябва да знаеш как се доказва ако си решил да ставаш "даскал".Ти нали не искаш да ставаш "даскал"?........
един метод от мен специално за Емо Стоянов
И мога да се обзаложа ,че постъпвайки по този начин повече хора от класа ще знаят в края на годината що е то "Косинусова теорема" и как се прилага ,просто защото няма да са натоварени с някакви си хубави или не чак толкова хубави доказателства.

Това разбира се не съветвам да го прилагате ако от него зависи дипломирането като учител......

Този подход върви в техникумите и обикновените училища, съгласен съм. Но моите ученици, на които също спестявам доста доказателства, след като ги приемат за студенти в СУ-то започват да мрънкат: Умориха ни с доказателствата на тези теореми! Трябваше да доказваме повече теореми на училище!
Друг е въпросът, че всяка задача за доказателство си е сама по себе си една теорема. Явно трябва повече такива задачи да се решават, а не само дадено е това и това, да се намери онова.

[Xixibg]

Хихи, съгласна съм, че не всичко се доказва, но има неща, които се доказват. Все пак не падат от небето. И е естествено ученикът да знае откъде идват. Не ми се сърди, но никога не бих започнала урока като теб

Е , аз в предния пост съм писал разни работи.Просто Емо Стоянов направи забележка относно вмъкването на доказателството на Питагоровата теорема в урока за Косинусова теорема и това беше повод за вторият ми пост.А ако не знаем доказателството на Питагорова теорема , то тогава за какво ни е да знаем това за Косинусова?Ако все пак някой любознателен ученик изяви желание да разучи доказателството на Косинусова теорема , то мисля че би му било интересно и как се доказва Питагоровата.Ако учениците са толкова добри и любознателни и знаят доказателството на Питагорова теорема , то просто урокът ни може да протече така....Косинусова теорема се доказва лесно с помощта на Питагорова теорема ,когато си спуснем височина в триъгълника.Да кажем изразите на косинусовата теорема и да призовем учениците да я докажат сами помагайки им с напътствия.Всичко много зависи от това "с какъв материал разполагаме" по Бойко Борисов.

[inveidar]

Е, да, така е. Бойко си е прав за много работи. Но мисля, че ако не им кажем за височината, 90 процента няма да се сетят. Поздрави на всички от другата галактика!

[amsara]

Moже ли по темата да се изкаже и десетокласник, който точно преди две -три седмици в даскало е взел синусова и косинусова теорема?

Аз лично не си представям учителката да ни метне на дъската едни теореми без доказателството им и после - айде, направо задачи за решаване на триъгълник.Първо, че ми се иска все пак да знам кое откъде идва. Освен това, ако знам принципа на доказването, утре, ако забия нещо и не се сетя за нея като за една наизустена формула, ще мога да си я изведа и сама.
Как протече при нас поне урокът? Въведението беше нещо в стила на написаното от Invader.После учителката ни доказа теоремата при остроъгълен триъгълник,стигна се и до доказването на това, че Питагоровата е частен случай на косинусовата. Това беше в първия час, а понеже имаме все пак блок, във втория ни даде достатъчно време да се справим сами и с доказването й за тъпоъгълен.После минахме и на въпроса за определяне на вида на триъгълника според ъглите му. И след взимането и на двете теореми, синусова и косинусова, солидно порешавахме задачи в следващите 2 седмици - първо от учебника и после от сборника на Коларов, защото се оказа в един момент , че много ученици са забравили това, дето го учихме в 8 клас и сега пак си трябва - кога около четириъгълник може да се опише окръжност, кога може да се впише и т.н.

[inveidar]

Браво на госпожата! Печена е.

[amsara]

Да, аз много я харесвам.

[Xixibg]

Заформи се готин спам

Хайде някой любознателен ученик да речем Сара(amsara) да постне доказателствата на теоремите на Менелай и Чева.
Ще бъде полезно за много ученици.Сигурен съм че много малко от 9-класниците знаят доказателствата на тези теореми.Лично аз съм свидетел че в някои училища този материал се пропуска т.е някои ученици изобщо не разбират ,че има и такива теореми.А и ми е любопитно какво доказателство е дала госпожата по математика на Сара на горенаписаните теореми.Явно е добър учител съдейки по постовете ,а и по възможностите на нейната ученичка

[inveidar]

Xixi, ти да не си експерт по математика, та имаш толкова задълбочен поглед върху това какво се учи и какво не в училищата?! Само те ходят по проверки(едно време им викахме инспектори). Защо искаш да тормозиш Сара? Специално за тези две теореми няма голям избор за доказателство и мисля, че в учебниците е дадено най-доброто. Ти по-добре кажи можеш ли да решиш всички задачи след урока в учебника на Анубис като си толкова запознат?

[amsara]

Веднага казвам двете доказтелства, с които са ни запознали. Едното знаех отдавна от тук, другото на косинусова теорема чух от госпожата, предложи ни го като добавка.


Първо и май по-нехаресвано от госпожата е това с ползването на Питагор след спускане на височината. Мога само да предполагам причината. Все пак звучи някак кофти в доказателството на по-общата теорема да ползваш Питагорова, която е частен случай на косинусова. А може и да е просто въпрос на предпочитание, не знам. И няма и как да знам.

Мен лично ме изкефи повече другото доказателство, което ни показа. Няма да го разписвам, само накратко ще кажа за какво ставаше дума. Дано стане ясно.Построяваме трите височини - [tex]AH_{1}, BH_{2}, CH_{3}[/tex]. Означаваме съответно страните a, b,c и ъглите [tex]\alpha , \beta, \gamma[/tex].Изразяваме [tex]AB=AH_{3} +BH_{3}, BC=BH_{1}+CH_{1}, AC=AH_{2}+CH_{2}[/tex]. Получаваме три равенства, като едното умножваме по а, другото по b, а третото по с. Вече имаме 3 равенства , като и трите са от втора степен съответно спрямо а, спрямо b и спрямо с. Събираме почленно първите две и в дясната страна заместваме с полученото в третото. И се получава косинусова теорема точно. Поне на мен ми хареса показаното доказателство.Не знам иначе кое е доброто и кое не.

И само от любопитство да питам, какво им е на здачите в Анубис след урока за косинусова. Мярка за някаква трудност ли сa? Ние сме по този учебник и на тези задачи госпожата си изпитваше.

А, и още нещо. Хихи , една шегичка само. Казваш, че е по-полезно само да ни дадат теоремата като формула и ние да я наизустяваме и толкова . Има обаче малко противоречие с това в подписа ти -мисълта на Декарт:

"За този който иска да развива своя ум, по-важно е да размишлява, отколкото да заучава"

[Xixibg]

Xixi, ти да не си експерт по математика, та имаш толкова задълбочен поглед върху това какво се учи и какво не в училищата?! Само те ходят по проверки(едно време им викахме инспектори). Защо искаш да тормозиш Сара? Специално за тези две теореми няма голям избор за доказателство и мисля, че в учебниците е дадено най-доброто. Ти по-добре кажи можеш ли да решиш всички задачи след урока в учебника на Анубис като си толкова запознат?

От къде да знам.Не съм ползвал учебниците на "анубис" .Да си призная не съм ползвал никакви учебници по математика след 5-ти клас.Не би трябвало да има задача от учебника ,с която да не мога да се справя ,но .......това е Божа работа.
Вече съм забравил много неща.В момента не се сещам дори как се решават задачи от олимпиади ,на които съм получавал максимум точки.Така ,че ако искаш пробвай с някоя

[strangerforever]

Какво не ви харесва на доказателството с вектори, като е най-разбираемо и е на 2 реда?

[Xixibg]

........
А, и още нещо. Хихи , една шегичка само. Казваш, че е по-полезно само да ни дадат теоремата като формула и ние да я наизустяваме и толкова . Има обаче малко противоречие с това в подписа ти -мисълта на Декарт:

"За този който иска да развива своя ум, по-важно е да размишлява, отколкото да заучава"

Не съм казвал подобно нещо , а и няма противоречие с мисълта на Декарт
На тези които искат да развиват своя ум не им е необходимо доказателство.Те си го измислят сами.Малко тъпо е да "преоткриваме топлата вода" както е приказката , но в математиката това развива ума.

[Xixibg]

Какво не ви харесва на доказателството с вектори, като е най-разбираемо и е на 2 реда?

Доказателство с вектори на кое?

[amsara]

Какво не ви харесва на доказателството с вектори, като е най-разбираемо и е на 2 реда?

Не че не ми харесва. Попитаха ме просто кое/кои са ни показали в час и споделих. Това с вектори съм го виждала иначе тук във форума и то мисля, че в твой пост.

Хихи, ами с такова впечатление останах от ей тия твои думи:
"Не ти трябва да знаеш как се доказва.Достатъчно е да може да я използваш.Ще ти трябва да знаеш как се доказва ако си решил да ставаш "даскал".

[strangerforever]

Какво не ви харесва на доказателството с вектори, като е най-разбираемо и е на 2 реда?

Доказателство с вектори на кое?

На косинусовата теорема, нали за това говорим.