Супер задача

[BTK Strangler]

В триъгълник ABC, М е среда на АВ, L е пресечна точка на вътрешната ъглополовяща през С със страната АВ, P е петата на височината през С и Н е ортоцентър на триъг. АВС. Да се намери медианата СМ ако е дадено, че ML=LP, CH=1, HP=1.
Отг: [tex]2\sqrt{2}[/tex]

[ganka simeonova]

В триъгълник ABC, М е среда на АВ, L е пресечна точка на вътрешната ъглополовяща през С със страната АВ, P е петата на височината през С и Н е ортоцентър на триъг. АВС. Да се намери медианата СМ ако е дадено, че ML=MP, CH=1, HP=1.
Отг: [tex]2\sqrt{2}[/tex]

Я пак си погледни условието. MP не може да е равно на LM, освен ако и двете не са 0, т.е. триъгълникът е равнобедрен.

[BTK Strangler]

Мдаа... объркал съм се. сега всичко е точно

[martin123456]

а учени ли са метрични зависимости - формула за медиана, за ъглополовяща?

[ganka simeonova]

В триъгълник ABC, М е среда на АВ, L е пресечна точка на вътрешната ъглополовяща през С със страната АВ, P е петата на височината през С и Н е ортоцентър на триъг. АВС. Да се намери медианата СМ ако е дадено, че ML=LP, CH=1, HP=1.
Отг: [tex]2\sqrt{2}[/tex]

Искаш ли хинт? Построй описаната окр и ползвай че симетричната на ортоценттъра спрямо АВ лежи на описаната окр. Пробвай сам, ако не стане ще помагаме:)

[ganka simeonova]

а учени ли са метрични зависимости - формула за медиана, за ъглополовяща?

Не са нужни тези формули. Задачата е чисто 9- класна.

[BTK Strangler]

Така. Означавам с К пресечната точка на височината от С с окръжността. Тогава КP=1.Нека РМ=LM=a и АM=ВM=b. Тогаваот свойство на хорди 2=(b-a)(b+a). Обаче не мога да видя откъде ще взема 2-ро у-е за a и b.

[ganka simeonova]

След малко ще ти напрявя чертеж

[ganka simeonova]

1) Симетралата на АВ и ъглополовящата на ъгъл С се пресичат в точка F от описаната окр.
2) Еднакви триъгълници [tex]\Delta MFL; \Delta PCL[/tex]
2) Ползваме свойството на пресичащите се хорди, а именно:
[tex]CL.LF=AL.LP=>l^2=(\frac{c}{2 } +y)(\frac{c}{ 2} -y) =>l^2=\frac{c^2}{4 } -y^2[/tex] (1)
[tex]CP.PT=AP.PB=>2.1=(\frac{c}{ 2} +2y)(\frac{c}{ 2} -2y)=>2=\frac{c^2}{ 4} -4y^2[/tex] (2)
Питагор за [tex]\Delta LPC=>l^2=y^2+4[/tex](3)
(1)-(2)=> [tex]l^2-2=3y^2=>l^2=3y^2+2[/tex] заместваме в (3)=> [tex]y=1=>MP=PC=2=>MC=2\sqrt{2}[/tex]

[BTK Strangler]

Хах.. Супер решение. Много благодаря. Може би не го видях, защото търсих нещо от сорта на синусова и косинусова теорема... абе нещо с ъгълчета, нещо по-така