зад. Ако за триъгълник АBC(СА=СB=1), АL , BE i CF са ъглопол

[domlika]

зад. Ако за триъгълник АBC(СА=СB=1), АL , BE i CF са ъглополовящи и точките E, F, L и С лежат на една окръжност , то дължината на AB e ?

отг. 0,5([tex]\sqrt{17}[/tex] -1)

[martin123456]

Нека [tex]AB=2x[/tex], [tex]\angle CAB=\alpha[/tex].От [tex]AC=CB[/tex] и [tex]BE[/tex] и [tex]AL[/tex] ъглополовящи => [tex]\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BC}=\frac{AB}{AC}=\frac{BL}{LC}[/tex]=> от т-ма на талес => [tex]EL||AB[/tex]=>[tex]\angle LEC = \alpha[/tex]. От това че има окръцност около [tex]EFLC[/tex]=>[tex]\alpha = \angle CFL=\angle CEL[/tex] като вписани. От еднаквността на [tex]\Delta CEF[/tex], [tex]\Delta CLF[/tex] => [tex]\angle CFE=\alpha[/tex]. Тъй като [tex]AC=CB[/tex]=> [tex]CF \bot AB[/tex]. Но [tex]EL||AB[/tex]=>[tex]EL \bot CF[/tex]. Нека [tex]EL \cap CF = N[/tex]. => [tex]\angle NEF=90^\circ-\alpha[/tex].=>[tex]EF \bot AC[/tex].=>
[tex]\Delta AEF[/tex]: [tex]\cos{\alpha}=\frac{AE}{x}[/tex]. [tex]AE[/tex] лесно можем да намерим от [tex]\frac{AE}{EC}=2x[/tex] и [tex]AE+EC=1[/tex]=>[tex]AE=\frac{2x}{2x+1}[/tex] => [tex]\cos{\alpha}=\frac{2}{2x+1}[/tex]
[tex]\Delta AFC[/tex]: [tex]\cos{\alpha}=x[/tex]
=> [tex]x=\frac{2}{2x+1}[/tex]=>[tex]2x^2+x-2=0[/tex], [tex]D=17[/tex]=>[tex]x_2=\frac{-1 + \sqrt{17}}{4}[/tex]

[domlika]

Ще ми тр време и да я разбера
Благодаря ти