Косинусова теорема

[Aladin]

В триъгълника ABC - АВ =30, ВС= 26, АС= 28 отсечката BD е височина, а точката Е е среда на ВС. Намерете радиуса на описаната около триъг. ВDЕ окръжност.
Може ли решение? Не би трябвало да е трудно, но нищо не измислям...

[s.karakoleva]

Косинусова теорема за [tex]\triangle ABC[/tex]
[tex]\cos\gamma=\frac{AB^2-AC^2-BC^2}{2\cdot AC\cdot BC}=\ldots=\frac{5}{13}[/tex]

[tex]\cos\gamma=\sin (\angle DBC)=\frac{5}{13}[/tex]

[tex]DE[/tex]-медиана в [tex]\triangle BCD (\angle BDC=90^\circ)\Rightarrow DE=13.[/tex]

Синусова теорема за [tex]\triangle DBE[/tex]

[tex]\frac{DE}{\sin (\angle DBC)}=2R\Rightarrow R=\frac{13}{2\cdot\frac{5}{13}}=16,9[/tex]

[Aladin]

Много благодаря!

[Knowledge Greedy]

Колежката s.karakoleva е дала най-естественото решениe.
Ето още едно решениe, вдъхновено от целите дължини на страните.
[tex]p=\frac{30+26+28}{2}=42[/tex]
Хероновата формула дава
[tex]S=\sqrt{42.(42-30).(42-26).(42-28)}=\sqrt{7.6.12.16.2.7}=7.12.4=336[/tex]

От другата формула чрез лицето [tex]S=\frac{1}{2}CB.CA.sin\gamma[/tex] откриваме
[tex]sin \gamma = \frac{2.7.12.14}{28.26}=\frac{12}{13}[/tex]

целочисленият и радиусът на описаната.PNG (5.64 KiB) Прегледано 1201 пъти

Но [tex]sin \angle DBE = cos \gamma = \frac{5}{13}[/tex]. Тогава по синусова теорема за същия триъгълник [tex]R=\frac{\frac{1}{2}BC}{2 cos \gamma}=\frac{26}{4.\frac{5}{13}}=\frac{169}{10}[/tex]