Метрични зависимости

[Aladin]

Може ли да ми помогнете с тези две задачи:
1. Дадено е а=16, r = 6, R= 17. Да се намерят другите две страни.
2. Отсечката АP е ъглоповяща в триъгълника ABC. Известно е ,че BP =16, CP = 20 и че центърът на окръжността, описана около триъг. ABP лежи върху отсечката AC. Намерете AB.
Благодаря ви предварително!

[s.karakoleva]

1. [tex]\mbox{ДС:} b,c>0[/tex]
[tex]sin T \Rightarrow \frac{a}{\sin\alpha}=2R\Leftrightarrow \sin\alpha=\frac8{17}\Rightarrow \cos\alpha=\pm\frac{15}{17}[/tex]

От формулата [tex]abc=2rR(a+b+c)[/tex] след заместване на дадените елементи, се получава [tex]bc=\frac{51}{4}\left(16+b+c\right) \qquad (1)[/tex]

Косинусова теорема:
1 случай: [tex]\cos\alpha=\frac{15}{17}[/tex]
[tex]a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha\Leftrightarrow 256=(b+c)^2-2bc(1+\frac{15}{17})[/tex]
и като се използва (1)
[tex]256=(b+c)^2-48(16+b+c)[/tex]
Полагаме [tex]b+c=x, x>0[/tex]
[tex]x^2-48x-1024=0 \Leftrightarrow x_1=64, x_2=-16<0[/tex]
Следователно, [tex]b+c=64,\ bc=1020[/tex]
и като се реши система от последните две у-я, се получават две наредени двойки [tex](b,c)=(30,34)\vee (34,30)[/tex]

2 случай: При [tex]\cos\alpha=-\frac{15}{17}[/tex]
се стига по същия начин до квадратно уравнение [tex]x^2+48x+512=0[/tex], което има само отрицателни корени.

[s.karakoleva]

2. задача:
Нека [tex]\angle A=2\alpha[/tex] и [tex]k(O)\cap AC=\{A,Q\}[/tex]
[tex]AQ[/tex] е диаметър, следователно [tex]\triangle ABQ[/tex] и [tex]\triangle APQ[/tex] са правоъгълни. Нека [tex]AB=x>0[/tex].

От свойството на ъглополовящата [tex]\frac{x}{AC}=\frac{16}{20}\Rightarrow AC=\frac54 x[/tex].

Зaб. За чертежа, за да е по-лесно, начертайте първо окръжността, после [tex]\angle А[/tex], така, че едното му рамо е диаметър, после ъглополовящата [tex]AP[/tex], след това [tex]BP[/tex] и тя пресича продължението на диаметъра в [tex]C[/tex].

Като се използват правоъгълните триъгълници и знанията за мерки на дъги, вписани и др. ъгли, лесно се определят [tex]\stackrel{\frown}{PQ}=\stackrel{\frown}{PB}=2\alpha[/tex], [tex]\angle ACP=90^\circ-3\alpha[/tex], [tex]\angle APB=90^\circ-2\alpha[/tex], [tex]\angle APC=90^\circ+\alpha[/tex].

От [tex]90^\circ-3\alpha>0[/tex] и останалите ограничения за ъглите [tex]\alpha[/tex] трябва да бъде ъгъл от [tex]0^\circ[/tex] до [tex]30^\circ[/tex].

Прилагаме sinT за [tex]\triangle ABC[/tex]:

[tex]\frac{x}{\sin (90^\circ-3\alpha)}=\frac{36}{\sin 2\alpha}=\frac{\frac54x}{\sin(90^\circ+\alpha)}\qquad (1)[/tex]

От 1. и 3. отношения в (1) се получава тригонометрично уравнение за [tex]\alpha[/tex]:

[tex]4\cos \alpha=5\cos 3\alpha \Leftrightarrow 4\cos\alpha=5(4\cos^3\alpha-3\cos\alpha)[/tex] за [tex]0<\alpha<30^\circ[/tex]

Полагаме [tex]\cos\alpha=t[/tex], [tex]\mbox{ ДС: } t\in\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right)[/tex]
[tex]t(20t^2-19)=0 \Rightarrow t_1=\sqrt{\frac{19}{20}}\in \mbox{ ДС },\ t_2=-\sqrt{\frac{19}{20}}\notin \mbox{ ДС },\ t_3=0\notin \mbox{ ДС }.[/tex]

[tex]\Rightarrow\cos\alpha=\sqrt{\frac{19}{20}}, \ \sin\alpha=\frac{\sqrt{5}}{10}, \sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{\sqrt{19}}{10}[/tex]

И накрая заместваме във 2. и 3. отношения на (1) и се определя [tex]x=AB=\frac{144\sqrt5}{5}[/tex].

[Aladin]

Много благодаря! А някаква идея за втората?

[s.karakoleva]

Много благодаря! А някаква идея за втората?

Зайо, отвори си очите!