Задача от косинусова теорема с доказателство

[christian.wolfius]

Здравейте,

Бихте ли ми помогнали за доказателството на следната задача, ще съм благодарен ако обяснението е по подробно.

Дадена е окръжност к с диаметър CD и хорда AB || CD. Точката M [tex]\in[/tex] CD. Да се докаже, че изразът [tex]MA^{2} + MB^{2}[/tex], не зависи от избора на хордата AB

Благодаря ви предварително!

Поздрави,
Крис

[Knowledge Greedy]

С три питагорови теореми определяме

Хорда без значение.png (5.27 KiB) Прегледано 1158 пъти

[tex]\left ( \frac{AB}{2} \right )^2=R^2-x^2=d^2[/tex]
[tex]AB=2d[/tex]

[tex]MA^2=x^2+(d-m)^2[/tex]
[tex]MB^2=x^2+(d+m)^2[/tex]

Събираме последните две равенства
[tex]MA^2+MB^2=2x^2+(d+m)^2+(d-m)^2[/tex]

[tex]MA^2+MB^2=2x^2+2d^2+2m^2[/tex]

[tex]MA^2+MB^2=2R^2+2m^2[/tex] - зависи само от разстоянието на [tex]M[/tex] от центъра [tex]O[/tex] и, разбира се от радиуса [tex]R[/tex] на окръжността.