Задача от косинусова теорема - помощ

[christian.wolfius]

Здравейте,

Бихте ли ми помогнали с решението на следната задача, ще съм благодарен ако обяснението е по подробно.

В [tex]\Delta[/tex] ABC върху странните AB и BC са взети съответно точките M и N, като BM = BN. През М е построена права, перпендикулюрна на
BC, а през N права перпендикулярна на AB. Тези прави се пресичат в точка О. Правата BO пресича AC в точка P и я дели на отсечки AP = 5 и PC = 4.
Намерете дължината на отсечката BP, ако BC = 6.

Благодаря ви предварително!

Поздрави,
Крис

[ева]

[tex]\triangle[/tex]МВN е равнобедрен [tex]\Rightarrow[/tex]т.О[tex]\in[/tex]ъглополовящата на [tex]\angle[/tex]АВС
т.е.ВР е ъглополовяща на [tex]\angle[/tex]АВС[tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\frac{АР}{РС}[/tex]=[tex]\frac{АВ}{ВС}[/tex] ; [tex]\frac{5}{4}[/tex]=[tex]\frac{АВ}{6}[/tex] ; АВ=[tex]\frac{15}{2}[/tex]
ВР е ъглопол.в [tex]\triangle[/tex]АВС[tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]l^{2}[/tex]=АВ.ВС-АР.РС
[tex]ВР^{2}[/tex]=[tex]\frac{15}{2}[/tex].6-5.4
[tex]ВР^{2}[/tex]=25
ВР=5

[ева]

Благодаря за точката . Реших я по друг начин,не се сещам как ще стане по исканият начин.

[S.B.]

Ето как се решава и с косинусова теорема:[tex]\triangle[/tex]MBN е равнобедрен (BN=BM по условие);N[tex]N_{1 }[/tex][tex]\bot[/tex]AB и M[tex]M_{1 }[/tex][tex]\bot[/tex]BC,като M[tex]M_{1 }[/tex] пресича N[tex]N_{1 }[/tex] в т. O,която се явява ортоцентър на [tex]\triangle[/tex]MNB.Тогава BO също е височина в [tex]\triangle[/tex]MNB,но тъй като той е равнобедрен,освен като височина към основата MN ,OB e и ъглополовяща на ъгъл B или по- точно BP e ъглополовяща в [tex]\triangle[/tex]ABC [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\frac{PA}{PC}[/tex] = [tex]\frac{AB}{BC}[/tex] = [tex]\frac{5}{4}[/tex] = [tex]\frac{AB}{6}[/tex] от където AB = [tex]\frac{15}{2}[/tex] = 7,5
Сега знаеш и трите страни,а това означава,че знаеш всичко за [tex]\triangle[/tex]ABC щом знаеш косинусова теорема!
За да намериш PB ще трябва да приложиш Косинусова теорема или за [tex]\triangle[/tex]BPC или за [tex]\triangle[/tex]BPA За целта е необходимо да намериш или cos[tex]\angle[/tex]C или cos[tex]\angle[/tex]A.Аз предпочитам да намеря cos[tex]\angle[/tex]C
Нека за по-удобно [tex]\angle[/tex]C бележа с [tex]\gamma[/tex]:
От [tex]AB^{2}[/tex] = [tex]AC^{2}[/tex] + [tex]BC^{2}[/tex] - 2.AC.BC.cos[tex]\gamma[/tex] [tex]\rightarrow[/tex] [tex]7,5^{2}[/tex] = [tex]9^{2}[/tex]+[tex]6^{2}[/tex]-2.9.6.cos[tex]\gamma[/tex] намирам,че cos[tex]\gamma[/tex] = [tex]\frac{9}{16}[/tex]
Прилагам косинусова теорема за [tex]\triangle[/tex]BPC: [tex]BP^{2}[/tex] = [tex]PC^{2}[/tex] + [tex]BC^{2}[/tex] - 2.PC.BC.cos[tex]\gamma[/tex]
Или [tex]BP^{2}[/tex] = [tex]4^{2}[/tex] + [tex]6^{2}[/tex] - 2.4.6.[tex]\frac{9}{16}[/tex] = 16 +36 - 2.4.6.[tex]\frac{9}{16}[/tex] = 52 - 27 =25
[tex]PB^{2}[/tex] = 25 ,а PB=5