Задача от косинусова теорема - ъгли на триъгълник

[christian.wolfius]

Здравейте,

Бихте ли ми помогнали с решението на следната задача, ще съм благодарен ако обяснението е по подробно.

Върху хипотенузата на AB на правоъгълния [tex]\Delta[/tex] ABC са взети точките K и L, така че AK = KL = LB.
Да се намерят ъглите на [tex]\Delta[/tex] ABC, ако е известно, че CK = [tex]\sqrt{2} CL[/tex]


Благодаря ви предварително!

Поздрави,
Крис

[Nathi123]

По условие АК=КL=LB=x[tex]\Rightarrow AB=3x;[/tex] нека ВС = а ; АС = b ; [tex]\angle ABC = \beta . \Delta ABC \Rightarrow cos\beta = \frac{a}{3x}.[/tex]
От кос. т-ма за [tex]\Delta KBC\Rightarrow cos\beta \frac{a^{2}+4x^{2}-CK^{2}}{4ax} (1) ; \Delta LBC\Rightarrow cos\beta= \frac{a^{2}+x^{2}-CL^{2}}{2ax} (2)[/tex]
От (1) и (2) [tex]\Rightarrow (3) a^{2}+4x^{2}- CK^{2} = a^{2}+2x^{2}- 2CL^{2} ; CK=\sqrt{2}CL\Rightarrow CK^{2} = 2CL^{2}[/tex]
От (3)[tex]\Rightarrow 2x^{2}=a^{2}\Rightarrow (\frac{a}{x})^{2} = 2 \Rightarrow \frac{a}{x} = \sqrt{2}\Rightarrow cos\beta = \frac{\sqrt{2}}{3}[/tex].

[christian.wolfius]

Здравей, много ти благодаря !