Най-краткото и лесно доказателство на Питагоровата теорема.

[Петър Евгениев]

Aко започнем с един произволен правоъгълен триъгълник със страни [tex]a,b,c[/tex].
1.Умножаваме страните на този триъгълни с [tex]a[/tex], (една от страните), получава се правоъгълен триъгълник със страни [tex]aa,ba,ca[/tex]
2.Умножаваме страните на този(пак първоначалния) с [tex]b[/tex], получава се правоъгълен триъгълник със страни [tex]ab,bb,cb[/tex]
3.Умножаваме страните на този(първоначалният пак) с [tex]c[/tex], получава се правоъгълен триъгълник със страни [tex]ac,bc,cc[/tex]
Получихме три нови триъгълника:
[tex]\triangle_{1}[/tex] със страни [tex]aa[/tex],[tex]ba[/tex],[tex]ca[/tex]
[tex]\triangle_{2}[/tex], със страни [tex]ab[/tex], [tex]bb[/tex], [tex]cb[/tex]
[tex]\triangle_{3}[/tex], със страни [tex]ac[/tex], [tex]bc[/tex], [tex]cc[/tex]
Забелязваме ,че: ясно е, но [tex]ab=bc, ca=ac,cb=bc[/tex] понеже е умножение)
И, ако сглобим триъгълниците в един правоъгълник се получа:(виж чертежа)[tex]A_{1}B_{1}=NC_{1}[/tex], или [tex]cc=bb+aa[/tex], или:
$$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$

[Евва]

Решавайки друга задача получих още едно доказателство на Питагоровата теорема .
Нека СН е височина в [tex]\triangle[/tex]АВС и [tex]\angle[/tex]САВ=[tex]\alpha[/tex] .
Да построим правоъгълниците - АНС[tex]А_{1 }[/tex] , НВ[tex]В_{1 }[/tex]С и А[tex]С_{1 }[/tex]ВС .

[tex]S_{HBC }[/tex] +[tex]S_{AHC } =S_{ABC }[/tex]

2[tex]S_{HBC }[/tex] +2[tex]S_{AHC }[/tex]=2[tex]S_{ABC }[/tex]

[tex]S_{HBB1C }[/tex] + [tex]S_{AHCA1 }[/tex] =[tex]S_{AC1BC }[/tex]

[tex]\frac{a.a.sin( 180 ^\circ -2 \alpha )}{2}[/tex] +[tex]\frac{b.b.sin( 180 ^\circ -2 \alpha )}{2}[/tex] =[tex]\frac{c.c.sin( 180 ^\circ-2 \alpha )}{2}[/tex]

[tex]a^{2 } +b^{2} =c^{2}[/tex]

[Гост]

[tex]\begin{array}{|l} x + y = 4 \\ x - y = 0 \end{array}[/tex]