Синусова теорема

[monika55]

1. Страните на успоредник ABCD са 5 см и 3 см, а ъгълът между тях е 60[tex]^\circ[/tex]. Да се намерят радиусите на окръжностите, описани около триъгълниците ABD и ABC.

2. В окръжност е вписан триъгълник, разликата между най-голямата и най-малката страни на който е 4 см, а третата страна е отдалечена от центъра на окръжността на 2см. Да се намерят страните на триъгълника, ако радиусът на окръжността е 4см.

3. Даден е триъгълник ABC. Върху правата AB е избрана т.М. Да се докаже, че отношението на радиусите на описаните около триъгълниците AMC и BMC окръжности не зависи от положението на М върху AB.

Благодаря предварително!

[Евва]

1 зад.
1.Намираш BD чрез cos T за [tex]\triangle[/tex]ABD.
2.Намираш R чрез sin T за ABD.

[Евва]

2зад. Дадено:[tex]\triangle[/tex]АВС нека АВ<АС<ВС ; ВС-АВ=4 см., ОН=2 см.(т.Н-среда на АС),К(O;R=4см.)-описана
_____________________________________________________________________________________________
АВ=? ВС=? АС=?
([tex]\triangle[/tex]ОСН-правоъгълен) sin[tex]\angle[/tex]OCH=[tex]\frac{ОН}{ОС}[/tex]=[tex]\frac{1}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]OCH=30[tex]^\circ[/tex] ([tex]\angle[/tex]ОСА=30[tex]^\circ[/tex]),но [tex]\triangle[/tex]АОС е равнобедрен [tex]\Rightarrow[/tex]
централният [tex]\angle[/tex]АОС=120[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\widehat{AC}[/tex]=120[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] вписаният [tex]\angle[/tex]АВС=[tex]\frac{120^\circ }{2}[/tex]=60[tex]^\circ[/tex] т.е. [tex]\angle[/tex][tex]\beta[/tex]=60[tex]^\circ[/tex] (1) ,тогава [tex]\gamma[/tex]=120[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex] (2)
Прилагаме sin T
[tex]\begin{array}{|l} \frac{AB}{sin\gamma}=2.4 \\ \frac{BC}{sin\alpha}=2.4 \\BC-AB=4 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} AB=8sin\gamma \\ BC=8sin\alpha \\BC-AB=4\end{array}[/tex]

8sin[tex]\alpha[/tex]-8sin[tex]\gamma[/tex]=4 |:4 и ползваме (2)
2sin[tex]\alpha[/tex]-2sin(120[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex])=1

2sin[tex]\alpha[/tex]-2([tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex].cos[tex]\alpha[/tex]+[tex]\frac{1}{2}[/tex].sin[tex]\alpha[/tex])=1

sin[tex]\alpha[/tex]-1=[tex]\sqrt{3}[/tex]cos[tex]\alpha[/tex]

Скрит текст: покажи

Вдигам на 2 степен и опростявам.

2[tex]sin^{2}[/tex][tex]\alpha[/tex]-sin[tex]\alpha[/tex]-1=0 ;D=1+8=9>0

[tex]sin_{1,2 }[/tex][tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{1\pm3}{4}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]sin_{1 }[/tex][tex]\alpha[/tex]=1 или [tex]sin_{2 }[/tex][tex]\alpha[/tex]=-[tex]\frac{1}{2}[/tex]

Получаваме [tex]\alpha_{1 }[/tex]=90[tex]^\circ[/tex] (3) или [tex]\alpha_{2 }[/tex]>180[tex]^\circ[/tex]-отпада ;от (1) и (3) намираме [tex]\gamma[/tex]=30[tex]^\circ[/tex]
[tex]\triangle[/tex]АВС е правоъгълен с ъгъл 30 градуса и хипотенуза ВС=2R=8см.( АВ-лежи с/у 30[tex]^\circ[/tex])
АВ=[tex]\frac{ВС}{2}[/tex]=[tex]\frac{8}{2}[/tex]=4 см.
(Питагор) [tex]АС^{2}[/tex]+[tex]4^{2}[/tex]=[tex]8^{2}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] AC=4[tex]\sqrt{3}[/tex] см.
Отговор: 4 см.,8 см., 4[tex]\sqrt{3}[/tex] см.