Вписана окръжност в правоъгълен триъгълник

[wildchild]

Това е задачата:
В правоъгълен триъгълник АВС (ъгъл С=90 градуса) е вписана окръжност с център О.Ако ОА=p и ОВ=q , намерете хипотенузата.

Мисля, че трябва да се намери ъгъл АОВ , но не знам как и след това да се използва косинусова теорема за триъгълник АОВ.

55.png (4.85 KiB) Прегледано 1566 пъти

[ins-]

AO и BO са ъглополовящи. Сборът от ъглите в триъгълник е 180 градуса. С помощта на тези 2 твърдения може да се намери търсения ъгъл и да се приложи косинусова теорема.

[S.B.]

Това е задачата:
В правоъгълен триъгълник АВС (ъгъл С=90 градуса) е вписана окръжност с център О.Ако ОА=p и ОВ=q , намерете хипотенузата.

Мисля, че трябва да се намери ъгъл АОВ , но не знам как и след това да се използва косинусова теорема за триъгълник АОВ.

55.png

Правилно разсъждаваш.Центъра на вписаната окръжност т. $O$ е пресечна точка на ъглополовящите.[tex]\angle AOB[/tex] е ъгъл между ъглополовящите на острите ъгли на правоъгълния триъгълник.Ако двата остри ъгъла са $\alpha$ и $90^\circ - \alpha$ , тогава тяхните половинки са $\frac{\alpha}{2}$ и $\frac{90^\circ - \alpha}{2} = 45^\circ - \frac{\alpha}{2}$.
Сборът от ъглите в $\triangle AOB$ е: $\frac{\alpha}{2} + 45^\circ - \frac{\alpha}{2} + \angle AOB = 180^\circ \Rightarrow \angle AOB = 135^\circ$
След това вече имаш всичко необходимо за да приложиш косинусова теорема за $\triangle AOB$ и да намериш търсената $AB$