Задача с Косинусова и Синусова теорема за 10 клас

[Гост]

Здравейте ,задачата дори госпожата ми по мат не може да я реши ,може ли помощ.

[Гост]

Надали не е успяла. Коя от двете задачи?

[S.B.]

Здравейте ,задачата дори госпожата ми по мат не може да я реши ,може ли помощ.

Без заглавие - 2021-03-10T123529.706.png (211.7 KiB) Прегледано 1119 пъти

Прилагам Синусова теорема за [tex]\triangle ABC \rightarrow \frac{BC}{sin120^\circ} = 2R \Leftrightarrow BC = \frac{\sqrt{3}}{2}.2.14\frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow BC = 14[/tex]
Центърът $O$ на вписаната окръжност лежи на ъглополовящите,а допирните точки на вписаната окръжност до страните са $M,N,P$
$OM = ON = OP = r = \sqrt{3}$
От $\triangle AOM \rightarrow \frac{AM}{OM} = cotg60^\circ \Leftrightarrow AM = \sqrt{3}.\frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow AM = 1$
Ако $CN = x \Rightarrow BN = 14 - x$
От свойството на допирателните от външна точка имаме:
$AM = PA = 1,CN = CP = x ,BN = BM = 14 - x$
Тогава за страните се получава:
$AB = 15 - x ,AC = x + 1 , BC = 14$
За $\triangle ABC$ прилагам Косинусова теорема:
$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} - 2.AB.AC,cos120^\circ \Leftrightarrow 14^{2} = (x + 1)^{2} + (15 - x)^{2} + 2(x + 1)(15 - x).\frac{1}{2} \Leftrightarrow$
След преработка и досадни сметки получаваш:
$x^{2} - 14x + 45 = 0 ,x_{1 } = 5 , x_{2 } = 9 $
Получават се два триъгълника:
1) $AB = 6,BC = 14,AC = 10$
2) $AB = 10,BC = 14, AC = 6$

[Евва]

9 зад.

Скрит текст: покажи

Може да се реши и по друг начин .

[tex]S_{LBC }[/tex]+[tex]S_{ALC }[/tex]=[tex]S_{ABC }[/tex]

[tex]\frac{l_{c }.a.sin60^\circ}{2}[/tex]+[tex]\frac{l_{c }.b.sin60^\circ}{2}[/tex]=[tex]\frac{ab.sin120^\circ}{2}[/tex]
...
[tex]l_{c }[/tex].a+[tex]l_{c }[/tex].b=ab
[tex]l_{c }[/tex](a+b)=ab

[tex]l_{c }[/tex]=[tex]\frac{ab}{a+b}[/tex]