трудна задача

[AleksA]

имам 2 задачи с които не мога да се преборя сама очаквам помощ
1) ?ABC <C=90° BC=3 AC=6 т.C т.B т.A са центрове на окр. с радиуси съответно 1, 2, 3. Да се намери радиуса на окр, която се допира външно до трите окръжности.
2) ?ABC <C=90° т.К и т.L \in AB така, че AK=KL=LB ; CK=?2.CL cos?=?

[vel.angelov]

1.Зад. Нека т.О е център на търсената окръжност =>OC=R-1 ; OA=R-3 ; OB=R-2 ,където R е радиус на търсената окръжност,озн. [tex]\angle ACO=\alpha => \angle BCO=90^\circ -\alpha[/tex] . Сега от прилагане на косинусова теорема за[tex]\Delta ACO[/tex] и [tex]\Delta BCO[/tex] получаваме система за [tex]\alpha[/tex] и [tex]R[/tex]. Оттам изразяваме [tex]sin\alpha[/tex] и [tex]cos\alpha[/tex] чрез R и от основното тригонометрично равенство получаваме уравнение за R...

[Martin Nikovski]

зад. 2.

Чертеж към задачата.

Drawing.jpg (12.05 KiB) Прегледано 470 пъти

[tex]\angle ACB[/tex] - правоъгълен [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]cos\beta =cos\angle ABC=\frac{BC}{AB }[/tex].
Ще използвам стандартните означения: [tex]BC=a[/tex], [tex]AC=b[/tex] и [tex]AB=c[/tex].
[tex]cos\beta =\frac{BC}{AB } =\frac{a}{c }[/tex].
Построяваме [tex]CH[/tex] - височина към хипотенузата [tex]AB[/tex], [tex]CH=h[/tex].

Разглеждаме [tex]\Delta CHK[/tex] ([tex]\angle CHK=90^\circ[/tex]):
[tex]\cyr{PT}:[/tex] [tex]CH^2+HK^2=CK^2[/tex]
[tex]CH[/tex] - височина към хипотенузата в правоъгълния [tex]\Delta ABC[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]CH=h=\frac{AC.BC}{AB } =\frac{ab}{c }[/tex]
Тогава [tex]CH^2=h^2=(\frac{ab}{c })^2=\frac{a^2b^2}{c^2 }[/tex]
За [tex]\Delta ABC[/tex] ([tex]\angle ACB=90^\circ[/tex]):
[tex]\cyr{PT}:[/tex] [tex]AC^2+BC^2=AB^2[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]a^2+b^2=c^2[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]b^2=c^2-a^2[/tex]
Заместваме в израза за [tex]CH^2[/tex]: [tex]CH^2=h^2=\frac{a^2b^2}{c^2 }=\frac{a^2(c^2-a^2)}{c^2 }=\frac{a^2c^2-a^4}{c^2 }[/tex]
[tex]HK=AK-AH[/tex]
От условието следва, че [tex]AK=KL=LB=\frac{AB}{3 }=\frac{c}{3 }[/tex]
Използвайки метрични зависимости в правоъгълен триъгълник, имаме, че [tex]AH.AB=AC^2[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]AH=\frac{AC^2}{AB } =\frac{b^2}{c } =\frac{c^2-a^2}{c }[/tex]
Тогава [tex]HK=AK-AH=\frac{c}{3 }-\frac{c^2-a^2}{c }=\frac{c^2-3(c^2-a^2)}{3c } =\frac{c^2-3c^2+3a^2}{3c } =\frac{3a^2-2c^2}{3c }[/tex]
[tex]HK^2=(\frac{3a^2-2c^2}{3c })^2=\frac{(3a^2-2c^2)^2}{9c^2 }=\frac{9a^4-12a^2c^2+4c^4}{9c^2 }[/tex]
Връщаме се в равенството от Питагоровата теорема за [tex]\Delta CHK[/tex]: [tex]CH^2+HK^2=CK^2[/tex]
[tex]CK^2=CH^2+HK^2=\frac{a^2c^2-a^4}{c^2 }+\frac{9a^4-12a^2c^2+4c^4}{9c^2 }=\frac{9(a^2c^2-a^4)+9a^4-12a^2c^2+4c^4}{9c^2 }=[/tex]
[tex]=\frac{9a^2c^2-\cancel{9a^4}+\cancel{9a^4}-12a^2c^2+4c^4}{9c^2 }=\frac{4c^4-3a^2c^2}{ 9c^2} =\frac{\cancel{c^2}(4c^2-3a^2)}{9\cancel{c^2} }[/tex]
[tex]CK^2=\frac{4c^2-3a^2}{9 }[/tex] (1.)

Разглеждаме [tex]\Delta CHL[/tex] ([tex]\angle CHL=90^\circ[/tex]):
[tex]\cyr{PT}:[/tex] [tex]CH^2+HL^2=CL^2[/tex]
[tex]CH^2=h^2=\frac{a^2c^2-a^4}{c^2 }[/tex] - по доказателство.
[tex]HL=HK+KL[/tex]
[tex]HK=\frac{3a^2-2c^2}{3c }[/tex] - по доказателство.
[tex]KL=\frac{c}{3 }[/tex] - по условие.
[tex]HL=HK+KL=\frac{3a^2-2c^2}{3c }+\frac{c}{3 }=\frac{3a^2-2c^2+c^2}{3c } =\frac{3a^2-c^2}{3c }[/tex]
Тогава [tex]HL^2=(\frac{3a^2-c^2}{3c })^2=\frac{(3a^2-c^2)^2}{9c^2 }=\frac{9a^4-6a^2c^2+c^4}{9c^2 }[/tex]
[tex]CK=CL.\sqrt2[/tex] (по условие) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]CL=\frac{CK}{\sqrt2 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex][tex]CL^2=\frac{CK^2}{2 }[/tex]
Връщаме се в равенството от Питагоровата теорема за [tex]\Delta CHL[/tex]: [tex]CH^2+HL^2=CL^2[/tex]
[tex]CH^2+HL^2=CL^2[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{a^2c^2-a^4}{c^2 }+\frac{9a^4-6a^2c^2+c^4}{9c^2 }=\frac{CK^2}{2 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{9(a^2c^2-a^4)+9a^4-6a^2c^2+c^4}{9c^2 } =\frac{CK^2}{2 }[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{9a^2c^2-\cancel{9a^4}+\cancel{9a^4}-6a^2c^2+c^4}{9c^2 }=\frac{CK^2}{2 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{3a^2c^2+c^4}{9c^2 } =\frac{CK^2}{2 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{\cancel{c^2}(3a^2+c^2)}{9\cancel{c^2} } =\frac{CK^2}{2 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{3a^2+c^2}{9 } =\frac{CK^2}{2 } /.2[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{2(3a^2+c^2)}{9 }=CK^2[/tex]
[tex]CK^2=\frac{6a^2+2c^2}{9 }[/tex] (2.)
От (1.) и (2.) получаваме: [tex]\frac{4c^2-3a^2}{9 }=\frac{6a^2+2c^2}{9 }/.9[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]4c^2-3a^2=6a^2+2c^2[/tex]
[tex]2c^2=9a^2[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{a^2}{c^2 } =\frac{2}{9 }[/tex]
[tex]a,c>0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{a}{c }=+\sqrt{\frac{2}{9 }}=\frac{\sqrt{2}}{3 }[/tex].

[tex]cos\beta =\frac{a}{c } =\frac{\sqrt2}{ 3}[/tex]

[ubuntu]

Нека B_1 е симетрична на C относно B, тогава CL е медиана в триъгълника ACB_1.Аналогично ако A_1 е симетричната на C относно A, тогава CK е медиана в тр.BCA_1.После намираме CK и CL по формулата за медиана и нататък като Мартин Никовски.

[vel.angelov]

Едно решение с косинусови теореми:
Използвам дадения чертеж.Означаваме [tex]BC=t => AB=\frac{t}{cos\beta } => BL=\frac{AB}{ 3} =\frac{t}{ 3cos\beta } ;BK=\frac{2t}{ 3cos\beta }[/tex] Нека [tex]CL=y => CK=\sqrt{2} y[/tex] .От тук косинусова теорема съответно за [tex]\Delta BLC[/tex] и [tex]\Delta BKC[/tex] След кратка преработка получаваме:
[tex](1)\frac{y^{2}}{ t^{2}} =\frac{3cos^{2}\beta +1 }{ 9cos^{2}\beta }[/tex]
[tex](2)\frac{y^{2}}{ t^{2}}=\frac{4-3cos^{2}\beta }{ 18cos^{2}\beta }[/tex]
Тогава от (1) и (2)[tex]=> cos^{2}\beta =\frac{2}{9 } => cos\beta =\frac{\sqrt{2} }{3 }[/tex]

[kerry]

1.Зад. Нека т.О е център на търсената окръжност =>OC=R-1 ; OA=R-3 ; OB=R-2 ,където R е радиус на търсената окръжност,озн. [tex]\angle ACO=\alpha => \angle BCO=90^\circ -\alpha[/tex] . Сега от прилагане на косинусова теорема за[tex]\Delta ACO[/tex] и [tex]\Delta BCO[/tex] получаваме система за [tex]\alpha[/tex] и [tex]R[/tex]. Оттам изразяваме [tex]sin\alpha[/tex] и [tex]cos\alpha[/tex] чрез R и от основното тригонометрично равенство получаваме уравнение за R...

Многоточието означава, че не ти се занимава с някакви системи ли?

[vel.angelov]

Ако сметките ми са правилни в първата чернова получавам следното уравнение за R:
[tex]7R^{2}-38R-49=0[/tex] откъдето получих че [tex]R=\frac{19+8\sqrt{11} }{7 }[/tex] и естествено реших че съм омазал сметките,затова само написах начин на решение

[Martin Nikovski]

зад. 1.

Чертеж към задачата.

Drawing.jpg (29.1 KiB) Прегледано 424 пъти

Ще използвам разсъжденията на vel.angelov, просто ще напиша задачата по-подробно.
Само не съм съгласен с изразяването на [tex]OC[/tex], [tex]OB[/tex] и [tex]OA[/tex]. От чертежа се вижда, че [tex]OC=R+R_1=R+1[/tex], [tex]OB=R+R_2=R+2[/tex], а [tex]OA=R+R_3=R+3[/tex].
Разглеждаме [tex]\Delta AOC[/tex]:
[tex]OC=R+1[/tex], [tex]OA=R+3[/tex], [tex]AC=6[/tex], [tex]\angle ACO=\alpha[/tex]
[tex]cos\ T[/tex]: [tex]OA^2=OC^2+AC^2-2OC.AC.cos\angle ACO[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex](R+3)^2=(R+1)^2+6^2-2.(R+1).6.cos\alpha[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\cancel{R^2}+6R+9=\cancel{R^2}+2R+1+36-12(R+1).cos\alpha[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]12(R+1).cos\alpha =28-4R/:4[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]3(R+1).cos\alpha =7-R[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]cos\alpha =\frac{7-R}{3(R+1) }[/tex]

Разглеждаме [tex]\Delta BOC[/tex]:
[tex]OC=R+1[/tex], [tex]OB=R+2[/tex], [tex]BC=3[/tex], [tex]\angle BCO=\angle ACB-\angle ACO=90^\circ -\alpha[/tex]
[tex]cos\ T[/tex]: [tex]OB^2=OC^2+BC^2-2OC.BC.cos\angle BCO[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex](R+2)^2=(R+1)^2+3^2-2.(R+1).3.cos(90^\circ -\alpha[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\cancel{R^2}+4R+4=\cancel{R^2}+2R+1+9-6(R+1).sin\alpha[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]6(R+1).sin\alpha =6-2R/:2[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]3(R+1).sin\alpha =3-R[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]sin\alpha =\frac{3-R}{3(R+1) }[/tex]

Използваме основното тригонометрично тъждество: [tex]sin^2\alpha +cos^2\alpha =1[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\left(\frac{3-R}{3(R+1) }\right)^2+\left(\frac{7-R}{3(R+1) }\right)^2=1[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{(3-R)^2+(7-R)^2}{9(R+1)^2 }=1/.9(R+1)^2[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\cancel9-6R+R^2+49-14R+R^2=9R^2+18R+\cancel9[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]7R^2+38R-49=0[/tex]
[tex]D=19^2-7.(-49)=361+343=704[/tex]
[tex]R>0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]R=\frac{-19+\sqrt{704}}{7 } =\frac{-19+8\sqrt{11}}{7 }[/tex]
[tex]R=\frac{8\sqrt{11}-19}{7}[/tex]