Синусова и косинусова теорама

[Гост]

Точките M, N, P и Q са среди съответно на страните AB, BC, CD и DA на четириъгълника ABCD. AC=4см, BD =6см, и NQ=√10см.

MP=?

[S.B.]

Точките M, N, P и Q са среди съответно на страните AB, BC, CD и DA на четириъгълника ABCD. AC=4см, BD =6см, и NQ=√10см.

MP=?

Без заглавие - 2022-02-22T211958.711.png (300.05 KiB) Прегледано 857 пъти

За [tex]\triangle ACD , PQ[/tex] е средна отсечка [tex]\Rightarrow PQ ||AC, PQ = \frac{AC}{2} = 2[/tex]
За [tex]\triangle ABC , MN[/tex] е средна отсечка [tex]\Rightarrow MN || AC , MN = \frac{AC}{2} = 2[/tex]
[tex]\begin{cases} PQ|| AC \\ MN || AC\end{cases} \Rightarrow PQ || MN[/tex]
[tex]\begin{cases} PQ || MN\\ PQ = MN = 2 \end{cases} \Rightarrow MNPQ[/tex] е успоредник
Аналогично [tex]PN = MQ = \frac{BD}{2} = 3[/tex] (също като средни отсечки в [tex]\triangle BDC[/tex] и [tex]\triangle BDA[/tex]
За [tex]\triangle QNP[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]\cos \angle QPN = \frac{ QN^{2 } - QP^{2 } - NP^{2 } }{-2.QP.NP} \Leftrightarrow \cos \varphi = \frac{10 - 9 - 4}{- 2.3.2} \Rightarrow \cos \varphi = \frac{1}{4}[/tex]
За [tex]\triangle PMN[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]PM^{2 } = PN^{2 } + MN^{2 } - 2.PN.MN.\cos(180 ^\circ - \varphi ) \Leftrightarrow PM^{2 } = 9 + 4 +2.3.2. \frac{1}{4} \Rightarrow PM^{2 } = 16 \Rightarrow PM = 4[/tex]

[Гост]

Всъщност сега видях, че може и без Косинусова теорема да стане - като намерим средните отсечки и знаем, че фигурата е успоредник и MP- диагонал,може да използваме формулата 2a*a +2b*b = c*c + d*d.
Много благодаря!