Задача от косинусова теорема

[Гост]

Върху страната AB на равнобедрен триъгълник ABC е взета точка M, така че AM = 3, BM = 8, а ъгъл BMC = 60 градуса. Намерете лицето на АВС.

[S.B.]

Върху страната AB на равнобедрен триъгълник ABC е взета точка M, така че AM = 3, BM = 8, а ъгъл BMC = 60 градуса. Намерете лицето на АВС.

Без заглавие - 2023-02-21T134738.357.png (261 KiB) Прегледано 797 пъти

Нека $AC = BC = b , MC = x$
За [tex]\triangle AMC[/tex]прилагам Косинусова теорема:
[tex]AC^{2 } = AM^{2 } + MC^{2 } - 2.AM.MC.\cos 120 ^\circ \Leftrightarrow b^{2 } = 3^{2 } + x^{2 } + 2.3.x. \frac{1}{2} \Leftrightarrow b^{2 } = 9 + x^{2 } +3x[/tex]

За [tex]\triangle BMC[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]BC^{2 } = MB^{2 } + MC^{2 } - 2.MC.MB.\cos 60 ^\circ \Leftrightarrow b^{2 } = 8^{2 }+ x^{2 } -2.8.x. \frac{1}{2} \Leftrightarrow b^{2 }= 64 + x^{2 }- 8x[/tex]
Приравнявам (Защо?)
[tex]64 + x^{2 } -8x = 9 + x^{2 } + 3x \Leftrightarrow 11x = 55 \Rightarrow x = 5[/tex]
$$\Rightarrow MC = 5$$
От [tex]\triangle MHC[/tex]:
[tex]\frac{CH}{CM} = \sin 60 ^\circ \Leftrightarrow CH = CM.\sin 60 ^\circ \Leftrightarrow CH = 5. \frac{ \sqrt{3} }{2}[/tex]
$$\Rightarrow CH = \frac{5 \sqrt{3} }{2} $$
[tex]S_{ABC } = \frac{AB.CH}{2}[/tex]
$$\Rightarrow S_{ABC } = \frac{55 \sqrt{3} }{4} $$