Лице, радиус на триъгълник

[Гост]

Даден е триъгълник със страни 15см, 12см и 18см.Построена е окръжност, която се допира до двете по-малки страни, а центъра й лежи на най-голямата страна.Намерете лицето на триъгълника, радиуса на окръжността и отсечките, на които центърът дели най-голямата страна.

Нямам представа за какво дори става дума...

[S.B.]

Даден е триъгълник със страни 15см, 12см и 18см.Построена е окръжност, която се допира до двете по-малки страни, а центъра й лежи на най-голямата страна.Намерете лицето на триъгълника, радиуса на окръжността и отсечките, на които центърът дели най-голямата страна.

Нямам представа за какво дори става дума...

Без заглавие - 2023-02-22T205248.015.png (229.38 KiB) Прегледано 868 пъти

Избирам $AB = 18 cm,AC = 12 cm, BC = 15 cm$
Геометричното място на центровете на окръжностите,които се допират до раменете на даден ъгъл е ъглополовящата на ъгъла
Центърът $O$ на търсената окръжност е пресечната точка на ъглополовящата на [tex]\angle ACB[/tex] и страната $AB$
Нека $AO = x , OB = 18 - x$
От свойството на ъглополовящата:
[tex]\frac{x}{18 - x} = \frac{12}{15}... \Leftrightarrow 9x = 72 \Rightarrow x = 8[/tex]
$$\Rightarrow AO = 8 , OB = 10$$
За [tex]\triangle ABC[/tex] Прилагам Косиносува теорема:
[tex]\cos \angle BAC = \frac{ CB^{2 } - AC^{2 } - AB^{2 } }{- 2. AB.AC} = \frac{ 15^{2 } - 12^{2 } - 18^{2 } }{- 2.12.18} = \frac{243}{432}[/tex]

[tex]\Rightarrow \cos \angle BAC = \frac{9}{16} \Rightarrow \sin \angle BAC = \frac{5 \sqrt{7} }{16}[/tex]
[tex]S_{ABC } = \frac{AB.AC}{2} .\sin \angle BAC \Leftrightarrow S_{ABC } = \frac{18.12}{2}. \frac{5 \sqrt{7} }{16}[/tex]
$$\Rightarrow S_{ABC } = \frac{135 \sqrt{7} }{4} $$
[tex]OT \bot AC , OT = r[/tex]
От [tex]\triangle AOT[/tex]:
[tex]\frac{OT}{AO} = \sin \angle TAO ( = \sin \angle BAC) \Leftrightarrow \frac{r}{8} = \frac{5 \sqrt{7} }{16} \Leftrightarrow r = 8. \frac{5 \sqrt{7} }{16}[/tex]
$$\Rightarrow r = \frac{5 \sqrt{7} }{2} $$