Задача от ъглополовящата

[Гост]

В триъгълник със страни 12 cm, 15 cm и 18 cm e построена ъглополовящата на най-големия ъгъл. Намерете дължината ѝ.

[mail_dinko]

[tex]a=12;b=15;c=18[/tex]
[tex]l_c =\sqrt {ab-\frac {abc^2}{(a+b)^2}}=\sqrt {180-\frac {180.18^2}{27^2}}=\sqrt {\frac {180.(27^2-18^2)}{27^2}}= \frac {\sqrt {180.9.45}}{27}= \frac {\sqrt {4.5.9.9.9.5}}{27}= \frac {2.45.3}{27}=10[/tex]

[S.B.]

В триъгълник със страни 12 cm, 15 cm и 18 cm e построена ъглополовящата на най-големия ъгъл. Намерете дължината ѝ.

Без заглавие - 2023-03-01T150028.300.png (251.58 KiB) Прегледано 798 пъти

Решението на колегата mail_dinko е добро в случай ,че тази формула е вече известна на учениците, което не е сигурно. Тъй като задачата е поставена в раздела "Питагорова,синусова и косинусова теорема", аз ще дам решение съобразено с този материал.

Нека т. $L$ е пресечната точка на ъглополовящата на най-голямия ъгъл [tex]\angle ACB = \gamma[/tex] с най голямата страна $AB = 18$
Нека $AL = 18 - x ,LB = x ,CL = l$
От свойството на ъглополовящата :
[tex]\frac{AL}{LB} = \frac{AC}{BC} \Leftrightarrow \frac{18 - x}{x} = \frac{12}{15} \Leftrightarrow \frac{18 - x}{x} = \frac{4}{5} \Leftrightarrow 90 - 5x = 4x \Leftrightarrow 9x = 90 \Rightarrow x = 10[/tex]
$$\Rightarrow AL = 8 ,BL = 10$$
За [tex]\triangle ABC[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]\cos \gamma = \frac{ AB^{2 } - AC^{2 } - BC^{2 } }{-2.AC,.BC} \Leftrightarrow \cos \gamma = \frac{ 18^{2 } - 15^{2 } - 12^{2 } }{-2.12.15} \Leftrightarrow \cos \gamma = \frac{45}{2.12.15} \Rightarrow \cos \gamma = \frac{1}{8}[/tex]
[tex]\cos^{2 } \frac{ \gamma }{2} = \frac{1 +\cos \gamma }{2} \Leftrightarrow \cos^{2 } \frac{ \gamma }{2} = \frac{1 + \frac{1}{8} }{2} = \frac{9}{16}[/tex]
$$\Rightarrow \cos \frac{ \gamma }{2} = \frac{3}{4} $$

За [tex]\triangle ALC[/tex] и за [tex]\triangle BLC[/tex] последователно прилагам Косинусова теорема:

[tex]AL^{2 } = AC^{2 } + CL^{2 } - 2.AC.LC.\cos \frac{ \gamma }{2} \Leftrightarrow 8^{2 } = 12^{2 } + l^{2 } - 2.12.l. \frac{3}{4} \Leftrightarrow 80 + l^{2 } - 18l = 0[/tex]
$$\Rightarrow l^{2 } = 18l - 80$$
[tex]BL^{2 } = BC^{2 } + CL^{2 } - 2.BC.CL.\cos \frac{ \gamma }{2} \Leftrightarrow 10^{2 } = 15^{2 } + l^{2 } - 2.15.l. \frac{3}{4} \Leftrightarrow 125 + l^{2 } - \frac{45}{2}l = 0[/tex]
$$\Rightarrow l^{2 } = \frac{45}{2}l - 125 $$
Приравнявам и получавам:
[tex]\frac{45}{2}l - 125 = 18l - 80 \Leftrightarrow 45l - 250 = 36l - 160 \Leftrightarrow 9l = 90[/tex]
$$\Rightarrow l = 10$$