Задача от медиани и успоредник

[Гост]

Намерете диагоналите на успоредник ABCD, ако AB = 13 cm, AD = 16 cm и медианата BN на ABD е 9 cm.

[Евва]

Нека [tex]\angle[/tex]BAD=[tex]\alpha[/tex]
BD=? AC=?
BN е медиана в [tex]\triangle[/tex]ABD и прилагаме формулата
[tex]m_{b } ^{2 }[/tex]=[tex]\frac{2 а^{2 }+2 c^{2 }- b^{2 } }{4}[/tex]

Според нашия чертeж [tex]9^{2 }[/tex]=[tex]\frac{2 BD^{2 } +2. 13^{2 }- 16^{2 } }{4}[/tex]

81.4= 2[tex]BD^{2 }[/tex]+338-256 ; BD= 11 см.

([tex]\triangle[/tex]ABD-cos T) [tex]11^{2 }[/tex]=[tex]13^{2}+16^{2 }[/tex]-2.13.16cos[tex]\alpha[/tex]
... ... ...
cos[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{19}{26}[/tex]

([tex]\triangle[/tex]ABC-cos T) [tex]AC^{2 }[/tex]=[tex]AB^{2 } +BC^{2}[/tex]-2AB.BCcos[ 180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex] ]

[tex]AC^{2 }[/tex]=169+256-2.13.16( -cos[tex]\alpha[/tex])

[tex]AC^{2 }[/tex]=425+2.13.16.[tex]\frac{19}{26}[/tex]

[tex]AC^{2 }[/tex]=729=[tex]27^{2 }[/tex] ; AC=27 см.