Задача от областта на тригонометрията

[Гост]

Около окръжност с център точката O е описан ABC, в който ACB = 60°. Намерете дължината на AB, ако AO = 4 и BO = 2.

[S.B.]

Около окръжност с център точката O е описан ABC, в който ACB = 60°. Намерете дължината на AB, ако AO = 4 и BO = 2.

Без заглавие - 2023-02-28T063835.354.png (217.6 KiB) Прегледано 827 пъти

Центърът $O$ на вписаната в [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност е пресечната точка на ъглополовящите[tex]\Rightarrow OA= 4 , BO = 2[/tex] са ъглополовящите съответно на [tex]\angle A[/tex] и [tex]\angle B[/tex]
За [tex]\triangle ABC[/tex] е изпълнено:
[tex]\angle A + \angle B + \angle C = 180 ^\circ \Leftrightarrow \angle A + \angle B + 60 ^\circ = 180 ^\circ \Leftrightarrow \angle A + \angle B = 120 ^\circ \Rightarrow[/tex]
$$ \frac{ \angle A }{2} + \frac{ \angle B }{2} = 60 ^\circ $$
За [tex]\triangle AOB[/tex] е изпълнено:
[tex]\angle BAO + \angle ABO + \angle AOB = 180 ^\circ \Leftrightarrow \frac{ \angle A}{2} + \frac{ \angle B}{2} + \angle AOB = 180 ^\circ \Leftrightarrow 60 ^\circ + \angle AOB = 180 ^\circ \Rightarrow[/tex]
$$\angle AOB = 120 ^\circ $$
За [tex]\triangle AOB[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]AB^{2 } = AO^{2 } + BO^{2 } - 2.AO.BO \Leftrightarrow AB^{2 } = 4^{2 } + 2^{2 } - 2.4.2.\cos 120 ^\circ \Leftrightarrow AB^{2 } = 16 + 4 + 2.4.2. \frac{1}{2}[/tex]
$$\Rightarrow AB^{2 } = 28 , AB = 2 \sqrt{7} $$