Тригонометрични функиции

[Simona007]

Здравейте! 10-ти клас съм и утре имам контролно по математика. Много съм зле с този предмет,но ще бъда благодарна,ако някой ми обясни следното нещо:
Имам даден cotg[tex]\alpha[/tex] и трябва да намеря останалите тригонометрични функции. Проблемът е,че ако имам синус не ми е драма да го реша,но щом имам cotg[tex]\alpha[/tex] нищо не се получава. Много съм притеснена,защото имам вече 2 двойки и сега ще имам трета. Не ме разбирайте грешно,не съм мързелива и съм дала страшно много пари за уроци,но от първи клас не мога с тази математика. Разбрах,че ако се реши една такава задача госпожата пише 3 и ще съм ви много благодарна,ако ми помогнете…

[ammornil]

Здравейте! 10-ти клас съм и утре имам контролно по математика. Много съм зле с този предмет,но ще бъда благодарна,ако някой ми обясни следното нещо:
Имам даден cotg[tex]\alpha[/tex] и трябва да намеря останалите тригонометрични функции. Проблемът е,че ако имам синус не ми е драма да го реша,но щом имам cotg[tex]\alpha[/tex] нищо не се получава. Много съм притеснена,защото имам вече 2 двойки и сега ще имам трета. Не ме разбирайте грешно,не съм мързелива и съм дала страшно много пари за уроци,но от първи клас не мога с тази математика. Разбрах,че ако се реши една такава задача госпожата пише 3 и ще съм ви много благодарна,ако ми помогнете…

Използваме дадената функция [tex]\begin{aligned} \tg{x}= & \frac{\sin{x}}{\cos{x}} & = \frac{1}{\cotg{x}} \\ \cotg{x}= & \frac{\cos{x}}{\sin{x}} & = \frac{1}{\tg{x}} \end{aligned}[/tex] в комбинация с основно тригономертрично равенство [tex]\sin^{2}{x}+\cos^{2}{x}=1[/tex]
Освен това е добре да се внимава какво ограничение за ъгъла е зададено, защото решенията може да са повече от едно.

Скрит текст: покажи

Ако ъгълът е от [tex]0^{\circ}[/tex] до [tex]90^{\circ}[/tex] [tex]\hspace{2em} \begin{cases} \sin{x} > 0 \\ \cos{x}>0 \\ \tg{x}>0 \\ \cotg{x}>0 \end{cases}[/tex]
Ако ъгълът е от [tex]90^{\circ}[/tex] до [tex]180^{\circ}[/tex] [tex]\hspace{2em} \begin{cases} \sin{x} > 0 \\ \cos{x}<0 \\ \tg{x}<0 \\ \cotg{x}<0 \end{cases}[/tex]
Ако ъгълът е от [tex]180^{\circ}[/tex] до [tex]270^{\circ}[/tex] [tex]\hspace{2em} \begin{cases} \sin{x} < 0 \\ \cos{x}<0 \\ \tg{x}>0 \\ \cotg{x}>0 \end{cases}[/tex]
Ако ъгълът е от [tex]270^{\circ}[/tex] до [tex]360^{\circ}[/tex] [tex]\hspace{2em} \begin{cases} \sin{x} < 0 \\ \cos{x}>0 \\ \tg{x}<0 \\ \cotg{x}<0 \end{cases}[/tex]

Например:
[tex]\tg{\alpha}=-2, \sin{\alpha}=?, \cos{\alpha}=?, \cotg{\alpha}=? \text{ ако }\alpha \in (90^{\circ}; 180^{\circ})[/tex]

[tex]\alpha \in (90^{\circ}; 180^{\circ}) \Rightarrow \begin{cases} \sin{\alpha} > 0 \\ \cos{\alpha} < 0 \end{cases}[/tex]

[tex]\cotg{\alpha}=\frac{1}{\tg{\alpha}}=-\frac{1}{2}[/tex]

[tex]\tg{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}=-2 \Rightarrow \sin{\alpha}=-2\cdot{\cos{\alpha}}[/tex]

Заместваме в основно тригонометрично равенство
[tex]\sin^{2}{\alpha}+\cos^{2}{\alpha}=1 \Leftrightarrow (-2\cdot{\cos{\alpha}})^{2}+\cos^{2}{\alpha}=1 \Leftrightarrow 4\cos^{2}{\alpha}+\cos^{2}{\alpha}=1 \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow 5\cos^{2}{\alpha}=1 \Leftrightarrow \cos^{2}{\alpha}=\frac{1}{5} \Leftrightarrow \cos{\alpha}=\pm\frac{1}{\sqrt{5}}[/tex]
Понеже вече видяхме, че според интервала за дадения ъгъл [tex]\cos{\alpha} < 0 \Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{\sqrt{5}}{5}[/tex]
(тази стойност се получава като числителя и знаменателя умножим с [tex]\sqrt{5}[/tex] за да нямаме корен в знаменателя, но и да не направите това, задачата пак ще е вярно решена)
Полученото заместваме за синуса:
[tex]\sin{\alpha}=-2\cdot{\cos{\alpha}} \Rightarrow \sin{\alpha}=\frac{2\sqrt{5}}{5}[/tex]

Същия ред на действия има и ако е даден котангенса, но изполваме че [tex]\cotg{\alpha}=\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}[/tex] и изразяваме косинуса чрез синуса. Заместваме в основно тригонометрично равенство, намираме синуса и заместваме обратно за косинуса.

Успех!

[S.B.]

Здравейте! 10-ти клас съм и утре имам контролно по математика. Много съм зле с този предмет,но ще бъда благодарна,ако някой ми обясни следното нещо:
Имам даден cotg[tex]\alpha[/tex] и трябва да намеря останалите тригонометрични функции. Проблемът е,че ако имам синус не ми е драма да го реша,но щом имам cotg[tex]\alpha[/tex] нищо не се получава. Много съм притеснена,защото имам вече 2 двойки и сега ще имам трета. Не ме разбирайте грешно,не съм мързелива и съм дала страшно много пари за уроци,но от първи клас не мога с тази математика. Разбрах,че ако се реши една такава задача госпожата пише 3 и ще съм ви много благодарна,ако ми помогнете…

Искам та ти кажа,че математиката е най-лесният,но и най-трудният предмет!
Най-лесният - защото всеки нов урок затвърдява изцяло вече ученият материал и добавя съвсем малко нов материал.
Най трудният - защото ако изпуснеш само един урок и не го научиш навреме - ЗАГИВАШ!Повече никога нищо няма да ти е ясно,а двойките ще валят,валят....
Ти си пропуснала урока за тригонометричните функции и за това нищо не ти е ясно.Аз ще ти кажа някои основни неща,но ти трябва да отвориш учебника и да прочетеш много старателно с лист хартия и химикал изпуснатите уроци.Казвам с лист хартия и химикал, защото тригонометрията не е стихотворение,което трябва да научиш!За формулите има справочници,а и ти можеш да ги напишеш на лист и да са пред очите ти,когато започнеш да решаваш.По важно е да знаеш,че "такава" формула съществува и да я ползваш когато е необходимо.
Тригонометричните функции,които изучавате са 4:
$$\sin \alpha , \cos \alpha , \tg \alpha , \cotg \alpha $$
Основните тригонометрични равенства са:
$$ sin^{2 } \alpha + \ cos^{2 } \alpha = 1; \tg \alpha = \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } ; \cotg \alpha = \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha } $$
Ето как се комбинират в задачите,които на теб са ти трудни:

[tex]\begin{array}{|l} \tg \alpha = \displaystyle\frac{\sin \alpha }{\\cos \alpha } \\ \sin^{2 } \alpha + \ cos^{2 } \alpha = 1 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} \cotg \alpha = \displaystyle \frac{\cos \alpha }{\sin \alpha } \\ \sin^{2 } \alpha + \ cos^{2 } \alpha = 1\end{array}[/tex]

Оставям на теб да заместиш [tex]\tg \alpha[/tex] или [tex]\cotg \alpha[/tex] с конкретните стойности и да получиш система от 2 уравнения с 2 неизвестни ,които са [tex]\sin \alpha[/tex] и [tex]\cos \alpha[/tex]
Вземи лист хартия,химикалка и конкретна задача и опитай!Успех!