Решаване на правоъгълен триъгълник 9 клас

[Гост]

"Отсечките АА1 и BB1 са ъглополовящи в триъгълник АBC с прав ъгъл при върха C и ∠А < ∠B. Намерете tg ∠BAC, ако е известно, че S(ΔCA₁B₁)/S(ΔCAB) = 3/(13+4√10)". Мъча се от известно време, но не мога да я реша

[S.B.]

"Отсечките АА1 и BB1 са ъглополовящи в триъгълник АBC с прав ъгъл при върха C и ∠А < ∠B. Намерете tg ∠BAC, ако е известно, че S(ΔCA₁B₁)/S(ΔCAB) = 3/(13+4√10)". Мъча се от известно време, но не мога да я реша

Без заглавие - 2023-06-21T103048.812.png (238.38 KiB) Прегледано 881 пъти

Не искам да Ви тревожа, но според мен задачата не е за 9 клас (както сте обявили в заглавието на темата),нито се решава с "Питагорова,Синусова и Косинусова теорема" в който раздел сте я публикували.
Това е лично мое мнение и ще се радвам ако някой колега ме опровергае

[tex]\displaystyle \frac{ S_{C A_{1 } B_{1 } } }{ S_{CAB } } = \displaystyle \frac{3}{13 + 4 \sqrt{10} } \Leftrightarrow \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{C A_{1 }.C B_{1 } }{2} }{\displaystyle \frac{CA.CB}{2} } = \displaystyle \frac{3}{13 + 4 \sqrt{10} } \Leftrightarrow \displaystyle \frac{C A_{1 }.C B_{1 } }{CA.CB} \Leftrightarrow \displaystyle \frac{C A_{1 } }{CA} . \displaystyle \frac{C B_{1 } }{CB} =\displaystyle \frac{3}{13 + 4 \sqrt{10} }[/tex]
От [tex]\triangle A A_{1 }C \rightarrow \tg \frac{ \alpha }{2} = \frac{C A_{1 } }{CA}[/tex]
От [tex]\triangle B B_{1 }C \rightarrow \tg( 45 ^\circ - \frac{ \alpha }{2}) = \frac{C B_{1 } }{CB}[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{C A_{1 } }{CA} . \frac{C B_{1 } }{CB} = \frac{3}{13 + 4 \sqrt{10} } \Leftrightarrow \tg \frac{ \alpha }{2}.\tg(45 ^\circ - \frac{ \alpha }{2}) = \frac{3}{13 + 4 \sqrt{10} }[/tex]
[tex]\tg(45 ^\circ - \frac{ \alpha }{2}) = \frac{\tg 45 ^\circ - \tg \frac{ \alpha }{2} }{1 + \tg 45 ^\circ.\tg \frac{ \alpha }{2} } = \frac{1 - \tg \frac{ \alpha }{2} }{1 + \tg \frac{ \alpha }{2} }[/tex]

Заместваме и получаваме:
[tex]\tg \frac{ \alpha }{2}. \frac{1 - \tg \frac{ \alpha }{2} }{1 + \tg \frac{ \alpha }{2} } = \frac{3}{13 + 4 \sqrt{10} }[/tex]

Полагам [tex]\tg \frac{ \alpha }{2} = t > 0[/tex]

[tex]\frac{t - t^{2 } }{1 + t} = \frac{3}{13 + 4 \sqrt{10} } \Leftrightarrow (13 + 4 \sqrt{10 } )(t - t^{2 }) = 3(1 + t)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (13 + 4 \sqrt{10}) t^{2 } - (10 + 4 \sqrt{10})t + 3 = 0 , D = 4 (4 + \sqrt{10}) ^{2 } , t_{1,2 } = \frac{10 + 4 \sqrt{10} \pm 2(4 + \sqrt{10} )}{2(13 + 4 \sqrt{10}) }[/tex]
[tex]t_{1 } = \frac{3(3 + \sqrt{10}) }{13 + 4 \sqrt{10} } , t_{2 } = \frac{1 + 4 \sqrt{10} }{13 + 4 \sqrt{10} }[/tex]

[tex]\tg_{1 } \frac{ \alpha }{2} = t _{1 } , \tg_{2 } \frac{ \alpha }{2} = t_{2 }[/tex]

$$\tg \angle BAC = \tg \alpha = \frac{2\tg \frac{ \alpha }{2} }{1 - \tg^{2 } \frac{ \alpha }{2} }$$
От тук остявям удоволствието да довършите задачата изцяло на Вас Успех!

Скрит текст: покажи

Не забравяйте да съобразите,че на по- малкия ъгъл съответства и по- малък тангенс!

[S.B.]

Пропуснала съм да отбележа,че :
[tex]\angle BAC = \alpha , \angle ABC = 90 ^\circ - \alpha[/tex]
[tex]A A_{1 } , BB_{1 }[/tex] са ъглополовящи [tex]\Rightarrow \angle CA A_{1 } = \frac{ \alpha }{2} , \angle CB B_{1 } = 45 ^\circ - \frac{ \alpha }{2}[/tex]
Извинявам се за пропуска

[Гост]

Може би има и по прост начин без формулите за тангенс

[ammornil]

Може би има и по прост начин без формулите за тангенс

Как ще намерите тангенс без формула за тангенс?

[Гост]

Може би има и по прост начин без формулите за тангенс

Как ще намерите тангенс без формула за тангенс?

Не сме учили тангенс от сбор на ъгли и тангенс от половинка ъгъл

[ammornil]

"Отсечките АА1 и BB1 са ъглополовящи в триъгълник АBC с прав ъгъл при върха C и ∠А < ∠B. Намерете tg ∠BAC, ако е известно, че S(ΔCA₁B₁)/S(ΔCAB) = 3/(13+4√10)". Мъча се от известно време, но не мога да я реша

Screenshot 2023-06-22 113504.png (29.98 KiB) Прегледано 841 пъти

търсим [tex]\frac{BC}{AC}=?[/tex]
[tex]AB=c; \hspace{0.5em} BC=a; \hspace{0.5em} AC=b; \hspace{0.5em} CA_{1}=x; \hspace{0.5em} CB_{1}=y[/tex]
[tex]\triangle{ABC} \rightarrow \angle{ACB}=90^{\circ} \Rightarrow c^{2}=a^{2}+b^{2}[/tex]
[tex]\frac{3}{13+4\sqrt{10}}=\frac{3\cdot (13-4\sqrt{10})}{13^{2}-16\cdot 10}=\frac{3\cdot (13-4\sqrt{10})}{9}=\frac{13-4\sqrt{10}}{3}[/tex]

[tex]\angle{CAA_{1}}=\angle{BAA_{1}} \Rightarrow \frac{x}{a-x}=\frac{b}{c} \Rightarrow x=\frac{a\cdot b}{b+c}[/tex]

[tex]\angle{ABB_{1}}=\angle{CBB_{1}} \Rightarrow \frac{y}{b-y}=\frac{a}{c} \Rightarrow y=\frac{a\cdot b}{a+c}[/tex]

[tex]\begin{cases} S_{CA_{1}B_{1}}=\frac{\normalsize{CA_{1}\cdot CB_{1}}}{\normalsize{2}} \\ S_{CAB}=\frac{\normalsize{CA\cdot CB}}{\normalsize{2}} \end{cases} \Rightarrow \frac{CA_{1}\cdot CB_{1}}{CA\cdot CB}=\frac{3}{13+4\sqrt{10}} \Leftrightarrow \frac{x\cdot y}{b\cdot a}=\frac{13-4\sqrt{10}}{3}[/tex]

[tex]\frac{a\cdot b}{b+c}\cdot \frac{a\cdot b}{a+c}\cdot \frac{1}{a\cdot b}=\frac{13-4\sqrt{10}}{3} \Leftrightarrow \frac{a\cdot b}{(a+c)\cdot(b+c)}=\frac{13-4\sqrt{10}}{3}[/tex]

Нека [tex]\frac{13-4\sqrt{10}}{3}=m[/tex]

[tex]\frac{a\cdot b}{(a+c)\cdot (b+c)} = \frac{c^{2}\cdot \frac{a\cdot b}{c^{2}}}{c^{2}\cdot (\frac{a}{c}+1)\cdot (\frac{b}{c}+1)}= \frac{\frac{a}{c}\cdot \frac{b}{c}}{(\frac{a}{c}+1)\cdot (\frac{b}{c}+1)} = \frac{\sin{\alpha}\cdot \cos{\alpha}}{(\sin{\alpha}+1)\cdot (\cos{\alpha}+1)} \Rightarrow[/tex]


[tex]\Rightarrow \frac{\sin{\alpha}\cdot \cos{\alpha}}{(\sin{\alpha}+1)\cdot (\cos{\alpha}+1)}=m \Rightarrow \sin{\alpha}\cdot \cos{\alpha}=m\cdot (\sin{\alpha}\cdot \cos{\alpha}+\sin{\alpha}+\cos{\alpha} +1) \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \sin{\alpha}\cdot \cos{\alpha} = m\cdot \sin{\alpha}\cdot \cos{\alpha}+m\cdot \sin{\alpha}+m\cdot \cos{\alpha} +m \Leftrightarrow \sin{\alpha}\cdot \cos{\alpha} - m\cdot \sin{\alpha}\cdot \cos{\alpha}-m\cdot \sin{\alpha}=m\cdot \cos{\alpha} +m \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \sin{\alpha}\cdot(\cos{\alpha}-m\cdot \cos{\alpha}-m) = m\cdot(\cos{\alpha} +1) \Leftrightarrow[/tex] $$ \sin{\alpha}=\frac{m\cdot(\cos{\alpha} +1)}{\cos{\alpha}-m\cdot \cos{\alpha}-m} $$

[tex]\sin^{2}{\alpha}+\cos^{2}{\alpha}=1 \Rightarrow \left( \frac{m\cdot(\cos{\alpha} +1)}{\cos{\alpha}-m\cdot \cos{\alpha}-m} \right)^{2} + \cos^{2}{\alpha}=1[/tex]

Оттук следват болезнени сметки за косинуса, после пресмятане на синуса и оттам тангенса. Това ми се вижда прекалено много за 9 клас. Не виждам от даденото друг начин да изразя тангенса, защото имаме пет неизвестни за дължини на отсечки, но само четири връзки помежду им. Трябва да се включи и основно тригонометрично равенство между синус и косинус, но ако не сте учили връзка междъ тригонометричните връзки на половика и цял ъгъл, това ми е единствената друга идея. Надявам се да Ви е накак полезна.

Ето още една идея с половинки и цял ъгъл, която води до същите умопомрачителни сметки:

Скрит текст: покажи

[tex]\alpha+\beta =90^{\circ}[/tex]
[tex]\sin{\alpha}=\cos{\beta}; \cos{\alpha}=\sin{\beta}[/tex]
[tex]\tg{\frac{\alpha}{2}}=\frac{\sin{\alpha}}{1+\cos{\alpha}}; \hspace{1em} \tg{\frac{\beta}{2}}=\frac{\sin{\beta}}{1+\cos{\beta}}=\frac{\cos{\alpha}}{1+\sin{\alpha}}[/tex]
По-горе получихме [tex]\frac{x\cdot y}{b\cdot a}=\frac{13-4\sqrt{10}}{3}[/tex] което е [tex]\tg{\frac{\alpha}{2}}\cdot \tg{\frac{\beta}{2}}=\frac{13-4\sqrt{10}}{3} \Rightarrow[/tex]

[tex]\frac{\sin{\alpha}}{1+\cos{\alpha}}\cdot \frac{\cos{\alpha}}{1+\sin{\alpha}}=\frac{13-4\sqrt{10}}{3}[/tex]
което отново е изразът, който получихме и по-горе $$ \frac{\sin{\alpha}\cdot \cos{\alpha}}{(\sin{\alpha}+1)\cdot (\cos{\alpha}+1)}=m = \frac{13-4\sqrt{10}}{3} $$
Ако не се ползва решението, предложено от S.B. не виждам други начини.