Задача за вписан четириъгълник

[Гост]

Даден е [tex]\triangle[/tex]ABC с вписана окръжност, която допира AB в точка E. Нека D е точка от страната AB, а [tex]I_{A }[/tex] и [tex]I_{B }[/tex] са центровете на вписаните окръжности в [tex]\triangle[/tex]ADC и [tex]\triangle[/tex]BDC съответно. Да се докаже, че четириъгълникът [tex]I_{A } I_{B }[/tex]ED е вписан.

[Гост]

Вписан четириъгълник.jpg (181.09 KiB) Прегледано 83 пъти

[Гост]

Поздравления за красивото решение! Ето и едно решение с тригонометрия:
Както в гореописаното решение, забелязваме че [tex]\angle I_{A } D_{}[/tex][tex]I_{B }[/tex]=90[tex]^\circ[/tex], следователно исканото е еквивалентно на [tex]\angle I_{A } E_{ }[/tex][tex]I_{B }[/tex]=90[tex]^\circ[/tex], което от своя страна е еквивалентно на [tex]I_{A }E ^{2 }[/tex]+[tex]I_{B }E ^{2 }[/tex]=[tex]I_{A } I_{B } ^{2 }[/tex].Нека [tex]\angle[/tex]ADC=[tex]\varphi[/tex].Тогава [tex]\angle[/tex][tex]EDI_{B }[/tex]=90[tex]^\circ[/tex]—[tex]\frac{ \varphi }{2}[/tex] и [tex]\angle[/tex][tex]EDI_{A }[/tex]=180[tex]^\circ[/tex]—[tex]\frac{ \varphi }{2}[/tex].От Косинусова теорема за [tex]\triangle[/tex][tex]EDI_{A }[/tex] имаме:
[tex]EI_{A } ^{2 }[/tex]=[tex]ED^{2 }[/tex]+[tex]D I_{A } ^{2 }[/tex]+2[tex]ED_{ }. DI_{A }[/tex].cos [tex]\frac{ \varphi }{2}[/tex]
От Косинусова теорема за [tex]\triangle EDI_{B }[/tex] имаме:
[tex]EI_{B } ^{2 }[/tex]=[tex]ED_{ } ^{2 }[/tex]+[tex]DI_{B } ^{2 }[/tex]—2[tex]ED_{ }[/tex].[tex]DI_{B }[/tex].sin [tex]\frac{ \varphi }{2}[/tex]
Тогава [tex]EI_{B } ^{2 }[/tex]+[tex]EI_{A } ^{2 }[/tex]=[tex]DI_{B } ^{2 }[/tex]+[tex]D I_{A } ^{2 }[/tex]+2.[tex]ED^{2 }[/tex]+2[tex]ED_{ }. DI_{A }[/tex].cos [tex]\frac{ \varphi }{2}[/tex]—2[tex]ED_{ }[/tex].[tex]DI_{B }[/tex].sin [tex]\frac{ \varphi }{2}[/tex]=[tex]I_{A } I_{B } ^{2 }[/tex]+(2.[tex]ED^{2 }[/tex]+2[tex]ED_{ }. DI_{A }[/tex].cos [tex]\frac{ \varphi }{2}[/tex]—2[tex]ED_{ }[/tex].[tex]DI_{B }[/tex].sin [tex]\frac{ \varphi }{2}[/tex]).Остава да докажем, че 2.[tex]ED^{2 }[/tex]+2[tex]ED_{ }. DI_{A }[/tex].cos [tex]\frac{ \varphi }{2}[/tex]—2[tex]ED_{ }[/tex].[tex]DI_{B }[/tex].sin [tex]\frac{ \varphi }{2}[/tex]=0,откъдето ще сме готови. Това е еквивалентно на [tex]ED_{ }[/tex] =[tex]DI_{B }[/tex].sin [tex]\frac{ \varphi }{2}[/tex]—[tex]DI_{A }[/tex].cos [tex]\frac{ \varphi }{2}[/tex]. Ако вписаните в [tex]\triangle[/tex]ADC и [tex]\triangle[/tex]BDC се допират до AB в точки R и S, съответно , лесно се съобразява,че последното равенство може да се запише като ED=DS-RD или ED+RD=DS, което се доказва по същия начин като в решението от по-рано.