Интересна задачка закачка :)

[ilko]

Даден е триъгълник ABC с \angle C= \gamma. Окръжности с радиуси r1 и r2 се допират до AB в точки съответно А и B като и двете окръжности минават през точка C. Да се намери AB.

[ksen_93]

[tex]AB=\sqrt{2r_1r_2(1-cos2\gamma) }[/tex]

[Евва]

Да означим ВС=2а и АС=2b .Нека т.М и т.N са среди съответно на отс.АС и ВС .
А[tex]О_{1 } =СО_{1 }[/tex]= [tex]r_{1 }[/tex] ;[tex]\triangle[/tex]АС[tex]О_{1 }[/tex] е равнобедрен [tex]\Rightarrow[/tex] медианата [tex]О_{1 }[/tex]М е и височина т.е. [tex]О_{1 }[/tex]М [tex]\bot[/tex]АС
също знаем ,че [tex]О_{1 }[/tex]А[tex]\bot[/tex]АВ следователно [tex]\angleА О_{1 } М= \angle ВАС= \alpha[/tex]
По същия начин доказваме ,че [tex]\angle[/tex]B[tex]O_{2 }[/tex]N=[tex]\angle[/tex]ABC=[tex]\beta[/tex]

[tex]\triangle[/tex]AM[tex]O_{1 }[/tex][tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]AHC ( 1признак ) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{b}{CH} = \frac{ r_{1 } }{2b}[/tex] ; CH=[tex]\frac{2 b^{2 } }{ r_{1 } }[/tex] (1)
[tex]\triangle[/tex]NB[tex]O_{2 }[/tex][tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]HBC ( 1 признак ) [tex]\frac{a}{CH} =\frac{ r_{2 } }{2a}[/tex] ; CH=[tex]\frac{2 a^{2 } }{ r_{2 } }[/tex] (2)

[tex]CH^{2 }[/tex]=[tex]\frac{2 b^{2 } }{ r_{1 } }[/tex].[tex]\frac{2 a^{2 } }{ r_{2 } }[/tex] ; CH=[tex]\frac{2ab}{ \sqrt{ r_{1 } r_{2 } } }[/tex] (3)

[tex]\frac{AB.CH}{2}[/tex]=[tex]S_{ABC }[/tex]=[tex]\frac{AC.BCsin \gamma }{2}[/tex]

AB.[tex]\frac{2ab}{ \sqrt{ r_{1 } r_{2 } } }[/tex] =2b2asin[tex]\gamma[/tex]

AB=2[tex]\sqrt{ r_{1 } r_{2 } }[/tex]sin[tex]\gamma[/tex]