Лесничка с R и r

[BTK Strangler]

Нека O и J са центровете, a R и r - радиусите на описаната и вписаната окръжнасти за тр. ABC. Aко [tex]\angle OJC = 90^\circ[/tex] :
а) да се докаже, че AC + BC = 2AB;
б) да се намери лицето на ABC, ако R=5 и r=1;
б) е формалност според мен, стига да се докаже а), т.е. страните да се изразят с радиусите. Обаче ме затруднява това изразяване. Пробвах да намеря парченцата, които са две по две равни от св-то на допирателните, но като че ли става много тежка сметка Дано някой види нещо полезно

[ganka simeonova]

Яка задача след малко пускам решение с чертеж

[ganka simeonova]

Продължаваме ъглополовящата през С докато пресече описанат окр. в точка Р.

Тогава от [tex]OJ\bot CP=>JC=JP[/tex], но за всеки триъгълник [tex]JP=PB=AP[/tex] (доказва се с равни ъгли- Осн. зад.)
Разгл.[tex]\Delta CJO=>cos\angle JCO=cos{\frac{\alpha -\beta }{2 } }=\frac{C J}{R }[/tex](1)

Прилагаме син. т-ма за [tex]\Delta APB=>\frac{AP}{sin{\frac{\gamma }{2 }} } =2R=> sin{\frac{\gamma }{2 }}=\frac{CJ}{ 2R}[/tex](2)[tex]=>cos{\frac{\alpha -\beta }{2 } }=2sin{\frac{\gamma }{2 }}=2cos{\frac{\alpha +\beta }{2 } }[/tex]

Умножаваме двете страни по [tex]2sin{\frac{\alpha +\beta }{2 } }[/tex]=>[tex]sin\alpha +sin\beta =2sin(\alpha +\beta )=>sin\alpha +sin\beta =sin\gamma[/tex]

Сега умножаваме двете страни по [tex]2R=>a+b=2c[/tex]

[ganka simeonova]

Освен това, от факта, че едната страна е средно аритметична на другите две следват куп хубави неща
Като наачало докажи, че радиусът на вписаната е три пъти по- малък от височината към АВ. Така ще знаеш височината.
После трябва да намериш и АВ. Помисли и ако се затрудниш, ще ти помогна

[strangerforever]

На мен ми е интересно дали има решение без тригонометрия

[BTK Strangler]

Туй с височината го видях, всъщност то излиза че JL/CL = 1/3 = r/h. Сега мисля AB

[ganka simeonova]

На мен ми е интересно дали има решение без тригонометрия

Е, моето решение е с тригонометрия
Относно АВ:
[tex]\Delta CJO:CJ^2=CO^2-JO^2=R^2-(R^2-2Rr)=2Rr=10=>CJ=AP=\sqrt{10}[/tex]
[tex]\Delta APB: \frac{AP}{ sin{\frac{\gamma }{2} } } =10=>sin{\frac{\gamma }{2} }=\frac{1}{\sqrt{10} } =>sin\gamma =\frac{3}{5 }[/tex]
[tex]\Delta ABC: AB=2Rsin\gamma =10.\frac{3}{ 5} =6[/tex]

[tex]S=\frac{1}{ 2} .3.6=9[/tex]

[ganka simeonova]

Точно при такива задачи, свързани с ортоцентър, височини е хубаво и удобно да се ползва тригонометрия!

[drago]

Toва, че: AB+BC=2AB, може лесно и без тригонометрия. Както е на чертежа:
От J постройте права усп. на AP и тя пресича AC в т. M. Очевидно M е среда на AC. Целта е да докажем, че АМ = АL. (L= CP x AB). Разглеждаме [tex]\Delta APL, \Delta JMC[/tex]. Те са еднакви, защото съответните им ъгли са равни и AP=PJ=JC. Toва, че AP=PJ => от това ,че ъг.PAJ = ъг. AJP (смятат се елементарно, чрез ъглите на ABC).
От тук AC = 2 AL, аналогично BC=2 BL. Това е.

[ganka simeonova]

Toва, че: AB+BC=2AB, може лесно и без тригонометрия. Както е на чертежа:
От J постройте права усп. на AP и тя пресича AC в т. M. Очевидно M е среда на AC. Целта е да докажем, че АМ = АL. (L= CP x AB). Разглеждаме [tex]\Delta APL, \Delta JMC[/tex]. Те са еднакви, защото съответните им ъгли са равни и AP=PJ=JC. Toва, че AP=PJ => от това ,че ъг.PAJ = ъг. AJP (смятат се елементарно, чрез ъглите на ABC).
От тук AC = 2 AL, аналогично BC=2 BL. Това е.