ромб

[sisika]

Даден е ромбАВСД със страна 1+[tex]\sqrt{5}[/tex] см и [tex]\angle[/tex]ВАD=60. От т.С е построена допирателна към окръжността, вписана в АВD, която пресича АВ вт.Е. Да се намери АЕ.

1. диагоналите в ромба са ъглополовящи, но ногава тр.АВD е равностранен и диагонала ВД е равен на страната на ромба
2. окръжността се допира в т.Н до АВ и тази точка разделя АВ на две равни части

и съм до тук

[dimy93]

[tex]\frac{ 3-\sqrt{5} }{2 }[/tex]?

[sisika]

не, АЕ=2 см
Цял ден се надявам някой да ми пише, ти обикновенно винаги си решавал верно, ама сега...чак ми стана фикс идея тази задача

[sisika]

не, АЕ=2 см
Цял ден се надявам някой да ми пише, ти обикновенно винаги си решавал верно, ама сега...чак ми стана фикс идея тази задача
дадена е подсказка, че [tex]sin\angle ACE=\frac{1}{ 4}[/tex]

[dimy93]

Намерих го но подробното решение ще отнеме 3 листа тригонометрия
След малко ще напиша принципното решение без сметките

[sisika]

леле - 3 листа? е това никога не ще мога да го реша

ОТЧАЯНА СЪМ...

[dimy93]

O-пресечна на диагоналите
I-център на вписаната
правилно е равностранен триъгълника -от там AI -ъглополовяща =>I е на AC
O-среда на DB но допирната точка на вписаната окръжност върху DB също е среда значи O е допирната точка на окръжността на DB.
От свойство на ъглополовящата за AOD => AI:OI = 2:1 но OI=r => AO = 3r =OC -от там IC = 4r
Нека X-допирната на вписаната към AB ,а Y -допирната на вписаната към CE.
YI = r ,а YIC - правоъгълен => [tex]YC=\sqrt{15}r[/tex]
От там намираш и че синуса на онзи ъгъл който си написала е 1/4
Сега използвам BX=BE+EX , CE=EY+CY и EY=EX(EX и EY -допирателни ).
[tex]\angle BCE =\angle ACB-\angle ACE = 30^\circ -\angle ACE[/tex]
От тук намираш [tex]sin\angle BCE[/tex].После синусова за ECB за страните EC и EB.Заместваш тези:Сега използвам BX=BE+EX , CE=EY+CY и EY=EX(EX и EY -допирателни ).
и намираш EX=[tex]\frac{ 3-\sqrt{5}}{2 }[/tex] (за целта трябва да сметнеш и r но то е лесно )
Накрая използваш AE= AX+EX = AB/2+EX и получаваш 2

леле - 3 листа? е това никога не ще мога да го реша

ОТЧАЯНА СЪМ...

спокойно това е щото съм фен на тригонометрията-сигурен съм ,че някой ще ти напише решение на 15 реда с допълнително построение
Едит :посъкратих решението
вместо

После синусова за ECB за страните EC и EB

използвай за EB и BC-така ще намериш директно EB.Тогава не ти трябват и

Сега използвам BX=BE+EX , CE=EY+CY и EY=EX(EX и EY -допирателни ).

Вече може и да се навия да го напиша подробно -това доста го съкрати

[sisika]

чакай първо да се пробвам по твоите направления и ако закъсам - ще те моля за помощ

БЛАГО-ДАРЯ

[Mr.G{}{}Fy]

по този начин е много лесно аз тръгнах с някфи косинусови теореми да я решавам и ако бях продължил да я решавам 3 листа тригонометрия щяха да са оптимално решение

[dimy93]

Хващам се на бас че има 20 реда решение с допълнително постоение и най -много някоя синусова или косинусова ама знае ли човек

[sisika]

днес събрах сили - и уж я разбрах, ама явно съм си супер тъпа. Всичко ми е ясно - от това, която Дими е написал и накрая или нещо я плескам в алгебрата или не е така.
Дими, от тук нататък
използвай за EB и BC-така ще намериш директно EB.
1.Установявам, че СЕ е ъглополовяща на АСВ, защото sin АСЕ=1/4 и sin ЕСВ=1/4
2. Намирам ъглите на тр.ЕСВ - В=120, С=15 и Е=45
3. синусова за тоя триъгълник
[tex]\frac{EB}{sinECB } =\frac{BC}{ sin45}[/tex]

[tex]EB=\frac{\sqrt{2}(1+\sqrt{5} }{4 }[/tex]

[tex]XE=\frac{2-\sqrt{2} }{4 }[/tex] като последните две равенства явно не са ми верни, или предположението, че СЕ е ъглополовяща

ПОМАГАЙ

[Mr.G{}{}Fy]

M dopirna tochka na K s CE,H dopirna tochka na k s AB
[tex]sin\angle ACE=\frac{1}{4 }[/tex]
[tex]sin\angle EAC=\frac{1}{ 2}[/tex]
sin T za [tex]\Delta AEC: 4AE=2CE ===> CE=2AE[/tex]
[tex]CE=CM+x[/tex]
[tex]AE=AH+x[/tex]
[tex]AH = \frac{1+\sqrt{5} }{ 2}[/tex]
[tex]CM[/tex]mojesh da go namerish
i ot tam samo [tex]x[/tex] ostava neizvestno
[tex]AE=AH + x[/tex]

[dimy93]

днес събрах сили - и уж я разбрах, ама явно съм си супер тъпа. Всичко ми е ясно - от това, която Дими е написал и накрая или нещо я плескам в алгебрата или не е така.
Дими, от тук нататък
използвай за EB и BC-така ще намериш директно EB.
1.Установявам, че СЕ е ъглополовяща на АСВ, защото sin АСЕ=1/4 и sin ЕСВ=1/4
2. Намирам ъглите на тр.ЕСВ - В=120, С=15 и Е=45
3. синусова за тоя триъгълник
[tex]\frac{EB}{sinECB } =\frac{BC}{ sin45}[/tex]

[tex]EB=\frac{\sqrt{2}(1+\sqrt{5} }{4 }[/tex]

[tex]XE=\frac{2-\sqrt{2} }{4 }[/tex] като последните две равенства явно не са ми верни, или предположението, че СЕ е ъглополовяща

ПОМАГАЙ

ммм не -май не е ъглоповяща-използвай формулата за синус на сбор и разлика
sin АСЕ=1/4
sin ECB = sin (30 - АСЕ) = sin 30*cosACE-sinACE*cos30 =[tex]\frac{\sqrt{15} }{ 8} - \frac{\sqrt{3} }{ 8}[/tex]
sin EBC = sin (30 + АСЕ)== sin 30*cosACE+sinACE*cos30 =[tex]\frac{\sqrt{15} }{ 8} + \frac{\sqrt{3} }{ 8}[/tex]
и заместваш в синусовата

[strangerforever]

Използваме наготово [tex]sin \angle ACE = \frac{1}{4}[/tex], доказателството е лесно.
[tex]a = 1 + sqrt{5}[/tex]

[tex]\angle CAE = 30 ^\circ = x[/tex]

[tex]\angle AEC = (180 - (30+x))[/tex]
[tex]sin \angle AEC = sin(30 + x) = sin30^\circ.cosx + cos30^\circ.sinx = ... = \frac{sqrt{3}(sqrt{5} + 1)}{8}[/tex]

[tex]cosT (DAC): AC^2 = a^2 + a^2 - 2a^2cos120 = ... = 3(1 + sqrt{5})^2 => AC = \sqrt{3}(1 + sqrt{5})[/tex]

[tex]sinT(AEC): \frac{sin \angle AEC}{AC} = \frac{sinx}{AE} <=> \frac{ \frac{sqrt{3}(sqrt{5} + 1)}{8} }{\sqrt{3}(1 + sqrt{5})} = \frac{\frac{1}{4}}{AE} <=> \frac{1}{8} = \frac{1}{4AE} <=> AE = 2[/tex]

[sisika]

Благодаря, знаех си, че съм объркала и си видях грешката
Отново - много благодаря

[ganka simeonova]

Аз понеже се изприщвам от много тригонометрия ( не че не е полезна
Ето и моето решение.
Да означим радиуса на вписаната в ABD окръжност с r . Тогава [tex]AF=FI=IO=r; OC=3r=>[/tex]
[tex]CQ^2=CO.CF=>CQ^2=15r^2=>CQ=r\sqrt{15[/tex]; [tex]sin\varphi =\frac{1}{ 4}[/tex]
[tex]AB=2\sqrt{3} r=>AP=r\sqrt{3}[/tex];Означаваме [tex]EP=EQ=x[/tex]
sin th :[tex]\Delta AEC=>\frac{AE}{ \frac{1}{ 4} } =\frac{CE}{ \frac{1}{2 } } =>[/tex]

[tex]2AE=CE=>2(r\sqrt{3}+x)=r\sqrt{15}+x=>x=r\sqrt{15} -2r\sqrt{3} =r\sqrt{3}(\sqrt{5} -2)[/tex]

[tex]AE=r\sqrt{3} +x=r\sqrt{3} +r\sqrt{3}(\sqrt{5} -2)= r\sqrt{15} -r\sqrt{3}=r\sqrt{3} (\sqrt{5} -1)=[/tex]

=[tex]a\frac{\sqrt{3} }{ 6}\sqrt{3} (\sqrt{5} -1)=(\sqrt{5}+1) \frac{\sqrt{3} }{ 6}\sqrt{3} (\sqrt{5} -1)=2[/tex]

[ganka simeonova]

Сега, докато преглеждам постовете, това си е баш решението на Дими

[sisika]

уф, толкова пот-най-накрая я докарах

[ganka simeonova]

уф, толкова пот-най-накрая я докарах

По- добре пот в боя, но победа на финала

[sisika]

ок

[Consigliere-]

Здравейте ,
зад.В ромб със страна 4см. и остър ъгъл 60° е вписана окръжност.Лицето на четириъгълника с върхове допирните точки на окръжността със страните на ромба е ?
Не искам решение просто да ми дадете примерно зависимости ,в общия случай когато имам ромб и вписана окръжност.

[Consigliere-]

Реших си я извинете ме ...