Произволна точка на ъглополовящата

[Mr.G{}{}Fy]

Върху ъглополовящата на ъгъл с връх точка [tex]M[/tex] е взета произволна точка [tex]O[/tex].Две прави през точката [tex]O[/tex] пресичат раменете на ъгъла съответно в точките [tex]A,B[/tex] и [tex]C,D[/tex].Да се докаже,че [tex]\frac{1}{MA } + \frac{1}{MB } = \frac{1}{MC } + \frac{1}{MD }[/tex]

[ganka simeonova]

Ще заменя т.М с т.L, защото имам проблем с изписването на М от клавиатурата.
Да свържем С и В. От св-то на ъглополовящата =>[tex]\frac{BP}{ PC} =\frac{LB}{ LC}[/tex]...(1)

Тъй като правите [tex]CD,BA,LP[/tex] се пресичат в една точка е в сила теоремата на Чева, а именно

[tex]\frac{CA}{LA } .\frac{LD}{DB } .\frac{BP}{ CP} =1=>\frac{CA}{LA } .\frac{LD}{DB } .\frac{LB}{ LC} =1=>\frac{CA}{LA.LC} =\frac{DB}{LD.LB }[/tex]=>

=>[tex]\frac{LC-LA}{ LC.LA} =\frac{LB-LD}{LB.LD } =>\frac{1}{ LA} -\frac{1}{LC } =\frac{1}{LD } -\frac{1}{LB } =>\frac{1}{LA } +\frac{1}{LB }=\frac{1}{LC }+\frac{1}{LD}[/tex]