Задачка

[Mr.G{}{}Fy]

Въргу страната [tex]AC[/tex] на триъгълника [tex]ABC[/tex]е взета точка [tex]D[/tex].Вписаната окръжност в [tex]ABD[/tex] има радиус [tex]\frac{2\sqrt{3} }{ 3}[/tex] и се допира до [tex]AB[/tex] в точката [tex]M[/tex].Вписаната в триъгълника [tex]BCD[/tex] окръжност има радиус [tex]\sqrt{3}[/tex] и се допира до [tex]BC[/tex] в точката[tex]N[/tex].Намерете страните на [tex]ABC[/tex],ако [tex]BM=6,BN=5[/tex]

[ganka simeonova]

Следи означенията на чертежа:
[tex]\Delta MO_1B=>tg\frac{\varphi }{ 2} =\frac{\sqrt{3} }{ 9} =>cos\varphi =\frac{13}{14 }[/tex]

[tex]\Delta NO_2B=>tg\frac{\delta }{2 } =\frac{\sqrt{3} }{5} =>cos\delta =\frac{11}{14 }[/tex]

[tex]tg\angle O_1BO_2=\frac{tg\frac{\varphi }{ 2} +{tg\frac{\delta }{2 } } }{1-tg\frac{\varphi }{ 2}tg\frac{\delta }{2 }}=\frac{\sqrt{3} }{ 3} =>\angle O_1BO_2=30^\circ =>\angle ABC=60^\circ[/tex]

[tex]LP=BL-BP=BM-BN=1=>LP=DP-DL=DT-DQ=>DQ=x; DT=x+1[/tex]
[tex]\Delta O_1MB=>O_1B=\frac{4\sqrt{7} }{\sqrt{3} } ; \Delta O_2NB=>O_2B=2\sqrt{7}[/tex]
[tex]cos th \Delta O_1O_2B=>O_1O_2^2=\frac{28}{ 3}[/tex]
От правоъгълния [tex]\Delta DO_1O_2=>DO_1^2+DO_2^2=\frac{28}{3 }[/tex](1)
[tex]\Delta DO_1Q=>QO^2+x^2=DO_1^2; \Delta DTO_2=>TO_2^2+(x+1)^2=DO_2^2[/tex](2)

(1); (2)=>[tex]x^2-x+2=0=>x=1[/tex]
cos. th [tex]\Delta ABD=>z=2[/tex] cos th[tex]CBD=>y=5=>AB=8, AC=BC=10[/tex]

[Mr.G{}{}Fy]

Благодаря ви.Както винаги леко и свежарско решение.